№18. Планиметрическая задача

Две окружности касаются внутренним образом в точке \(C\). Вершины \(A\) и \(B\) равнобедренного прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая \(AC\) вторично пересекает меньшую окружность в точке \(D\). Прямая \(BC\) вторично пересекает большую окружность в точке \(E\).

а) Докажите, что прямые \(AE\) и \(BD\) параллельны.

б) Найдите \(AC\), если радиусы окружностей равны \(8\) и \(15\).

Периметр треугольника \(ABC\) равен \(36\). Точки \(E\) и \(F\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. Отрезок \(EF\) касается окружности, вписанной в треугольник \(ABC\).

а) Докажите, что \(AC = 9\).

б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(\angle ACB = 90^\circ\).

Окружность с центром \(O_1\) касается оснований \(BC\) и \(AD\) и боковой стороны \(AB\) трапеции \(ABCD\). Окружность с центром \(O_2\) касается сторон \(BC\), \(CD\) и \(AD\). Известно, что \(AB = 10\), \(BC = 9\), \(CD = 30\), \(AD = 39\).

а) Докажите, что прямая \(O_1O_2\) параллельна основаниям трапеции \(ABCD\).

б) Найдите \(O_1O_2\).

Окружность с центром в точке \(O\) касается сторон угла с вершиной \(N\) в точках \(A\) и \(B\). Отрезок \(BC\) — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая \(AC\) параллельна биссектрисе угла \(ANB\).

б) Найдите длину отрезка \(NO\), если известно, что \(AC = 10\) и \(AB = 24\).

В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) лежат на сторонах \(AB\) и \(BC\) соответственно так, что \(AM : MB = CN : NB = 2 : 3\). Окружность, вписанная в треугольник \(ABC\), касается отрезка \(MN\) в точке \(L\).

а) Докажите, что \(AB + BC = 4AC\).

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), если \(ML = \dfrac{9}{5}\), \(LN = 3\).

В квадрате \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. Отрезки \(CM\) и \(DN\) пересекаются в точке \(K\).

а) Докажите, что \(\angle BKM = 45^\circ\).

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(ABK\), если сторона \(AB = 2\sqrt{7}\).