№18. Планиметрическая задача

В трапеции \(ABCD\) угол \(BAD\) прямой. Окружность, построенная на большем основании \(AD\) как на диаметре, пересекает меньшее основание \(BC\) в точках \(C\) и \(M\).

а) Докажите, что \(\angle BAM = \angle CAD\).

б) Диагонали трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Найдите площадь треугольника \(AOB\), если \(AB = \sqrt{10}\), а \(BC = 2BM\).

Пятиугольник \(ABCDE\) вписан в окружность. Диагонали \(AD\) и \(BE\) пересекаются в точке \(M\). Известно, что \(BCDM\) — параллелограмм.

а) Докажите, что \(BC = DE\).

б) Найдите длину стороны \(AB\), если известно, что \(DE = 4\), \(AD = 7\), \(BE = 8\) и \(AB > BC\).

В треугольнике \(ABC\) продолжения высоты \(CC_1\) и биссектрисы \(BB_1\) пересекают описанную окружность в точках \(N\) и \(M\) соответственно, \(\angle ABC = 40^\circ\), \(\angle ACB = 85^\circ\).

а) Докажите, что \(BM = CN\).

б) Прямые \(BC\) и \(MN\) пересекаются в точке \(D\). Найдите площадь треугольника \(BDN\), если его высота \(BH\) равна \(7\).

Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность радиуса \(R = 8\). Известно, что \(AB = BC = CD = 12\).

а) Докажите, что прямые \(BC\) и \(AD\) параллельны.

б) Найдите \(AD\).

На сторонах \(AB\), \(BC\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) отмечены точки \(C_1\), \(A_1\) и \(B_1\) соответственно, причём \(AC_1 : C_1B = 8 : 3\), \(BA_1 : A_1C = 1 : 2\), \(AB_1 : B_1C = 1 : 3\). Отрезки \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(D\).

а) Докажите, что четырёхугольник \(ADA_1B_1\) — параллелограмм.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), если отрезки \(AD\) и \(BC\) перпендикулярны, \(AC = 16\), \(BC = 15\).

Окружность проходит через вершины \(A\), \(B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\), пересекает сторону \(BC\) в точках \(B\) и \(M\) и пересекает продолжение стороны \(CD\) за точку \(D\) в точке \(N\).

а) Докажите, что \(AM = AN\).

б) Найдите отношение \(CD : DN\), если \(AB : BC = 1 : 2\), а \(\cos \angle BAD = \dfrac{2}{3}\).