№18. Планиметрическая задача

Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Диагональ \(BD\) разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями \(AD\) и \(CD\).

а) Докажите, что луч \(AC\) — биссектриса угла \(BAD\).

б) Найдите \(CD\), если известны диагонали трапеции: \(AC = 12\) и \(BD = 6,5\).

На сторонах \(AB\), \(BC\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) отмечены точки \(C_1\), \(A_1\) и \(B_1\) соответственно, причём \(AC_1 : C_1B = 21 : 1\), \(BA_1 : A_1C = 2 : 3\), \(AB_1 : B_1C = 2 : 5\). Отрезки \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(D\).

а) Докажите, что четырёхугольник \(ADA_1B_1\) — параллелограмм.

б) Найдите \(CD\), если отрезки \(AD\) и \(BC\) перпендикулярны, \(AC = 63\), \(BC = 25\).

Прямая, перпендикулярная стороне \(BC\) ромба \(ABCD\), пересекает его диагональ \(AC\) в точке \(M\), а диагональ \(BD\) в точке \(N\), причём \(AM : MC = 1 : 2\), \(BN : ND = 1 : 3\).

а) Докажите, что \(\cos \angle BAD = \dfrac{1}{5}\).

б) Найдите площадь ромба, если \(MN = 5\).

На стороне \(BC\) треугольника \(ABC\) отмечена точка \(D\) так, что \(AB = BD\). Биссектриса \(BF\) треугольника \(ABC\) пересекает прямую \(AD\) в точке \(E\). Из точки \(C\) на прямую \(AD\) опущен перпендикуляр \(CK\).

а) Докажите, что \(AB : BC = AE : EK\).

б) Найдите отношение площади треугольника \(ABE\) к площади четырёхугольника \(CDEF\), если \(BD : DC = 5 : 2\).

На стороне \(AC\) равностороннего треугольника \(ABC\) отмечена точка \(M\). Серединный перпендикуляр к отрезку \(BM\) пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(E\) и \(K\) соответственно.

а) Докажите, что треугольники \(AEM\) и \(CMK\) подобны.

б) Найдите отношение \(AM : MC\), если площади треугольников \(AEM\) и \(CMK\) равны \(4\) и \(9\) соответственно.

Прямая, проходящая через середину \(M\) гипотенузы \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\), перпендикулярна \(CM\) и пересекает катет \(AC\) в точке \(K\). При этом \(AK : KC = 1 : 2\).

а) Докажите, что \(\angle BAC = 30^\circ\).

б) Пусть прямые \(MK\) и \(BC\) пересекаются в точке \(P\), а прямые \(AP\) и \(BK\) — в точке \(Q\). Найдите \(KQ\), если \(BC = \sqrt{21}\).