№18. Планиметрическая задача

Окружность проходит через вершины \(A\), \(B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\), пересекает сторону \(BC\) в точках \(B\) и \(E\) и пересекает продолжение стороны \(CD\) за точку \(D\) в точке \(K\).

а) Докажите, что \(AE = AK\).

б) Найдите отношение \(KE : BD\), если \(\angle BAD = 60^\circ\).

Окружность проходит через вершины \(B\) и \(C\) треугольника \(ABC\) и пересекает \(AB\) и \(AC\) в точках \(C_1\) и \(B_1\) соответственно.

а) Докажите, что треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(AB_1C_1\).

б) Вычислите радиус данной окружности, если \(\angle A = 45^\circ\), \(B_1C_1 = 6\) и площадь треугольника \(AB_1C_1\) в восемь раз меньше площади четырёхугольника \(BCB_1C_1\).

Биссектрисы углов \(BAD\) и \(BCD\) равнобедренной трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Через точку \(O\) провели прямую, параллельную основаниям \(BC\) и \(AD\).

а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.

б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если \(AO = CO\) и данная прямая делит сторону \(AB\) в отношении \(AM : MB = 1 : 2\).

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в три раза больше основания \(BC\).

а) Докажите, что высота \(CH\) трапеции разбивает основание \(AD\) на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины \(C\) до середины диагонали \(BD\), если \(AD = 15\) и \(AC = 2\sqrt{61}\).

Точка \(E\) — середина боковой стороны \(CD\) трапеции \(ABCD\). На стороне \(AB\) взяли точку \(K\) так, что прямые \(CK\) и \(AE\) параллельны. Отрезки \(CK\) и \(BE\) пересекаются в точке \(O\).

а) Докажите, что \(CO = KO\).

б) Найдите отношение оснований трапеции \(BC\) и \(AD\), если площадь треугольника \(BCK\) составляет \(\dfrac{9}{100}\) площади трапеции \(ABCD\).

Прямая, проходящая через вершину \(B\) прямоугольника \(ABCD\) перпендикулярно диагонали \(AC\), пересекает сторону \(AD\) в точке \(M\), равноудалённой от вершин \(B\) и \(D\).

а) Докажите, что \(\angle ABM = \angle DBC = 30°\).

б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой \(CM\), если \(BC = 9\).