№18. Планиметрическая задача

Прямая, перпендикулярная стороне \(BC\) ромба \(ABCD\), пересекает его диагональ \(AC\) в точке \(M\), а диагональ \(BD\) в точке \(N\), причём \(AM : MC = 1 : 2\), \(BN : ND = 1 : 3\).

а) Докажите, что прямая \(MN\) делит сторону ромба \(BC\) в отношении \(1 : 4\).

б) Найдите сторону ромба, если \(MN = \sqrt{6}\).

В параллелограмме \(ABCD\) угол \(BAC\) вдвое больше угла \(CAD\). Биссектриса угла \(BAC\) пересекает отрезок \(BC\) в точке \(L\). На продолжении стороны \(CD\) за точку \(D\) выбрана такая точка \(E\), что \(AE = CE\).

а) Докажите, что \(AL \cdot BC = AB \cdot AC\).

б) Найдите \(EL\), если \(AC = 8\), \(\operatorname{tg} \angle BCA = \dfrac{1}{2}\).

В остроугольном треугольнике \(ABC\) высоты \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(H\). Через точку \(C_1\) параллельно высоте \(BB_1\) проведена прямая, пересекающая высоту \(AA_1\) в точке \(K\).

а) Докажите, что \(AB \cdot KH = BC \cdot C_1H\).

б) Найдите отношение площадей треугольников \(C_1HK\) и \(ABC\), если \(AB = 6\), \(BC = 4\), \(AC = 5\).

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) точка \(M\) лежит на катете \(AC\), а точка \(N\) лежит на продолжении катета \(BC\) за точку \(C\), причём \(CM = BC\) и \(CN = AC\).

а) Отрезки \(CP\) и \(CQ\) — медианы треугольников \(ABC\) и \(NCM\) соответственно. Докажите, что прямые \(CP\) и \(CQ\) перпендикулярны.

б) Прямые \(MN\) и \(AB\) пересекаются в точке \(K\), а прямые \(BM\) и \(AN\) — в точке \(L\). Найдите \(KL\), если \(BC = 1\), а \(AC = 5\).