№18. Планиметрическая задача

Идея решения

Основания высот всегда «сидят» на окружностях: если угол прямой, точка лежит на окружности с диаметром — стороне. Через эти окружности угол \(\angle KNH\) выражается через угол \(B\). А дальше обычная тригонометрия: два данных отрезка дают две стороны треугольника.

Пункт а). Шаг 1. Две окружности

Угол \(\angle BKC = 90^\circ\) (так как \(CK\) — высота) и \(\angle BNC = 90^\circ\) (так как \(BN\) — высота). Оба угла опираются на отрезок \(BC\), значит, точки \(K\) и \(N\) лежат на окружности с диаметром \(BC\):

\[B,\ K,\ N,\ C - \text{на одной окружности}.\]

Точно так же \(\angle ANB = 90^\circ\) и \(\angle AHB = 90^\circ\), поэтому точки \(N\) и \(H\) лежат на окружности с диаметром \(AB\):

\[A,\ N,\ H,\ B - \text{на одной окружности}.\]

Шаг 2. Два равных угла при вершине N

Четырёхугольник \(BKNC\) вписан в окружность, поэтому его противоположные углы \(\angle KNC\) и \(\angle KBC\) в сумме дают \(180^\circ\). Угол \(\angle ANK\) смежный с \(\angle KNC\), значит,

\[\angle ANK = 180^\circ - \angle KNC = \angle KBC = \angle B.\]

Точно так же четырёхугольник \(ANHB\) вписан в окружность, его противоположные углы \(\angle ANH\) и \(\angle ABH\) в сумме дают \(180^\circ\), поэтому

\[\angle HNC = 180^\circ - \angle ANH = \angle ABH = \angle B.\]

Важно! Приём «внешний угол вписанного четырёхугольника равен противоположному внутреннему» экономит много времени. Он следует из того, что сумма противоположных углов равна \(180^\circ\).

Шаг 3. Считаем угол KNH

Точки \(A\), \(N\), \(C\) лежат на одной прямой, поэтому три угла при вершине \(N\) составляют развёрнутый угол:

\[\angle ANK + \angle KNH + \angle HNC = 180^\circ,\]

\[\angle KNH = 180^\circ - 2\angle B.\]

По условию \(\angle KNH = 60^\circ\), значит,

\[180^\circ - 2\angle B = 60^\circ,\qquad \angle B = 60^\circ.\]

Пункт а) доказан.

Пункт б). Шаг 4. Находим сторону AB

Точка \(H\) — основание высоты из \(A\), поэтому треугольник \(ABH\) прямоугольный, и

\[BH = AB\cos B.\]

Подставляем \(BH = 2\), \(\cos 60^\circ = \frac12\):

\[2 = AB\cdot\frac12,\qquad AB = 4.\]

Шаг 5. Находим сторону BC

Точка \(K\) — основание высоты из \(C\), поэтому треугольник \(BKC\) прямоугольный, и

\[BK = BC\cos B = \frac{BC}{2}.\]

Точка \(K\) лежит на стороне \(AB\) (треугольник остроугольный), поэтому

\[AK = AB - BK,\]

\[1 = 4 - \frac{BC}{2},\qquad BC = 6.\]

Важно! Условие «остроугольный» нужно именно здесь: только тогда основания высот лежат на сторонах, и можно писать \(AK = AB - BK\).

Шаг 6. Третья сторона

По теореме косинусов для угла \(B\):

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB\cdot BC\cos B =\]

\[= 16 + 36 - 2\cdot 4\cdot 6\cdot\frac12 =\]

\[= 52 - 24 = 28,\]

\[AC = 2\sqrt7.\]

Шаг 7. Радиус описанной окружности

По теореме синусов

\[2R = \frac{AC}{\sin B} = \frac{2\sqrt7}{\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{4\sqrt7}{\sqrt3},\]

\[R = \frac{2\sqrt7}{\sqrt3} = \frac{2\sqrt{21}}{3}.\]

Важно! Сторона \(AC\) лежит против угла \(B\) — именно эту пару и надо подставлять в теорему синусов.

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(R = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\).

Ответ: б) \(R = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\)

Идея решения

Три середины и основание высоты — это знаменитая «окружность девяти точек». Но доказывать её целиком не нужно: достаточно увидеть, что \(B_1C_1A_1H\) — равнобедренная трапеция, а около равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность. Во втором пункте просто считаем два отрезка на прямой \(BC\) и вычитаем.

Пункт а). Шаг 1. Средняя линия

Отрезок \(B_1C_1\) соединяет середины сторон \(AC\) и \(AB\), то есть это средняя линия треугольника. Значит,

\[B_1C_1 \parallel BC,\qquad B_1C_1 = \frac{BC}{2}.\]

Точки \(A_1\) и \(H\) лежат на прямой \(BC\), поэтому

\[B_1C_1 \parallel A_1H,\]

и четырёхугольник \(B_1C_1A_1H\) — трапеция (или, если \(H\) совпадёт с \(A_1\), вырожденный случай; при данных углах этого не происходит).

Шаг 2. Боковая сторона C₁H

Высота \(AH\) даёт прямой угол: \(\angle AHB = 90^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(ABH\) отрезок \(C_1H\) — медиана к гипотенузе \(AB\), а медиана к гипотенузе равна её половине:

\[C_1H = \frac{AB}{2}.\]

Важно! Именно здесь «работает» высота: точка \(H\) — вершина прямого угла, а \(C_1\) — середина гипотенузы \(AB\). Без этого шага задача не получается.

Шаг 3. Боковая сторона A₁B₁

Отрезок \(A_1B_1\) соединяет середины сторон \(BC\) и \(AC\), то есть это средняя линия, параллельная \(AB\):

\[A_1B_1 = \frac{AB}{2}.\]

Шаг 4. Трапеция равнобедренная

Сравнивая шаги 2 и 3:

\[C_1H = A_1B_1 = \frac{AB}{2}.\]

У трапеции \(B_1C_1A_1H\) боковые стороны равны, значит, она равнобедренная. А около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Значит, точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(H\) лежат на одной окружности. Пункт а) доказан.

Важно! Признак «около трапеции можно описать окружность» работает только для равнобедренной трапеции. Поэтому и нужно равенство боковых сторон, а не просто параллельность оснований.

Пункт б). Шаг 5. Находим стороны

Дано \(BC = 2\sqrt3\), \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle C = 45^\circ\). Тогда

\[\angle B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ.\]

По теореме синусов

\[2R = \frac{BC}{\sin A} = \frac{2\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}} = 4,\]

\[AC = 2R\sin B = 4\sin 75^\circ.\]

Синус \(75^\circ\) считаем по формуле синуса суммы:

\[\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) =\]

\[= \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\]

\[= \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4},\]

\[AC = \sqrt6 + \sqrt2.\]

Шаг 6. Два отрезка на прямой BC

В прямоугольном треугольнике \(AHC\) (угол \(H\) прямой)

\[CH = AC\cos 45^\circ =\]

\[= \left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\]

\[= \frac{\sqrt{12} + 2}{2} = \sqrt3 + 1.\]

Точка \(A_1\) — середина \(BC\), поэтому

\[CA_1 = \frac{BC}{2} = \sqrt3.\]

Шаг 7. Ответ пункта б)

Обе точки отсчитываются от \(C\) по одной прямой, поэтому

\[A_1H = CH - CA_1 = \sqrt3 + 1 - \sqrt3 = 1.\]

Важно! Порядок точек на прямой: \(C\), затем \(A_1\), затем \(H\) (так как \(CH > CA_1\)). Если перепутать порядок, знак разности получится отрицательным.

Полезно заметить

Работает и общая формула: расстояние от середины стороны до основания высоты равно

\[A_1H = \frac{\left|AC^2 - AB^2\right|}{2\cdot BC}.\]

Здесь \(AC^2 = 8 + 4\sqrt3\), \(AB^2 = 8\), \(BC = 2\sqrt3\), и снова получается \(1\).

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(A_1H = 1\).

Ответ: б) \(A_1H = 1\)

Идея решения

Треугольник равнобедренный, значит, две его высоты симметричны — отсюда получится, что \(TH \parallel AC\). Точки \(M\) и \(K\) — основания перпендикуляров из \(H\), поэтому они вместе с \(A\) и \(H\) лежат на одной окружности. Из этих двух фактов выйдет, что \(TMHE\) — прямоугольник, а в прямоугольнике сразу видно и равенство диагоналей, и параллельность сторон.

Шаг 1. Что дано

Высоты проведены к боковым сторонам \(BC\) и \(AB\), значит, боковые стороны — это \(AB\) и \(BC\), а основание — \(AC\). Поэтому

\[AB = BC,\qquad \angle A = \angle C = \alpha.\]

Важно! Сначала разберитесь, какие стороны боковые. Здесь это написано неявно — через то, к каким сторонам проведены высоты.

Шаг 2. TH параллельно AC

Прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(CBT\) равны: у них общий угол \(B\) и равные гипотенузы \(AB = CB\). Значит,

\[BH = BT.\]

Тогда в треугольнике \(ABC\)

\[\frac{BT}{BA} = \frac{BH}{BC},\]

и по теореме, обратной теореме Фалеса,

\[TH \parallel AC.\]

Шаг 3. Прямоугольный треугольник TMH

По условию \(HM \perp AB\), значит, \(\angle TMH = 90^\circ\) (точки \(T\) и \(M\) лежат на прямой \(AB\)).

Угол этого треугольника при вершине \(T\) — это угол между \(TH\) и прямой \(AB\). Но \(TH \parallel AC\), поэтому он равен углу между \(AC\) и \(AB\), то есть углу \(\alpha\).

Отсюда

\[MH = MT\cdot\operatorname{tg}\alpha.\]

Шаг 4. Окружность с диаметром AH

\(\angle AMH = 90^\circ\) и \(\angle AKH = 90^\circ\), потому что \(HM \perp AB\) и \(HK \perp AC\). Оба угла опираются на отрезок \(AH\), значит, точки \(M\) и \(K\) лежат на окружности с диаметром \(AH\) — вместе с \(A\) и \(H\).

Шаг 5. Под каким углом MK пересекает AB

Вписанные углы \(\angle HMK\) и \(\angle HAK\) опираются на одну и ту же дугу \(HK\), поэтому

\[\angle HMK = \angle HAK.\]

Найдём \(\angle HAK\). В треугольнике \(AHC\) угол \(AHC\) прямой (ведь \(AH \perp BC\)), а угол \(ACH\) равен \(\alpha\). Значит,

\[\angle HAK = \angle HAC = 90^\circ - \alpha,\]

\[\angle HMK = 90^\circ - \alpha.\]

Так как \(MH \perp AB\), угол между прямой \(MK\) и прямой \(AB\) равен

\[90^\circ - \left(90^\circ - \alpha\right) = \alpha.\]

Шаг 6. Прямоугольный треугольник MTE

Отрезок \(CT\) перпендикулярен \(AB\), а точка \(E\) лежит на \(CT\). Значит, в треугольнике \(MTE\) угол при вершине \(T\) прямой, а угол при вершине \(M\) равен \(\alpha\) (шаг 5). Поэтому

\[TE = MT\cdot\operatorname{tg}\alpha.\]

Шаг 7. TMHE — прямоугольник

Сравним шаги 3 и 6:

\[TE = MH.\]

При этом \(TE \perp AB\) и \(MH \perp AB\), то есть \(TE \parallel MH\). В четырёхугольнике \(TMHE\) стороны \(MH\) и \(ET\) параллельны и равны, значит, это параллелограмм. А угол при вершине \(M\) прямой, поэтому

\[TMHE - \text{прямоугольник}.\]

Шаг 8. Диагонали прямоугольника равны

В прямоугольнике диагонали равны. Диагонали четырёхугольника \(TMHE\) — это отрезки \(TH\) и \(ME\), поэтому

\[TH = ME.\]

Пункт а) доказан.

Пункт б). Шаг 9. Основные величины

Теперь \(AB = BC = 13\), \(AC = 10\).

Высота из вершины \(B\) делит основание пополам, поэтому

\[\cos\alpha = \frac{AC/2}{AB} = \frac{5}{13},\qquad \sin\alpha = \frac{12}{13}.\]

Высота из \(B\) равна \(\sqrt{13^2 - 5^2} = 12\), значит, площадь

\[S = \frac12\cdot 10\cdot 12 = 60.\]

Отсюда высота \(AH\), проведённая к стороне \(BC\):

\[AH = \frac{2S}{BC} = \frac{120}{13}.\]

Шаг 10. Длина TH

В прямоугольном треугольнике \(ATC\) (угол \(T\) прямой)

\[AT = AC\cos\alpha = 10\cdot\frac{5}{13} = \frac{50}{13},\]

\[BT = AB - AT = 13 - \frac{50}{13} = \frac{119}{13}.\]

Треугольники \(BTH\) и \(BAC\) подобны (общий угол \(B\) и \(BT : BA = BH : BC\)), причём коэффициент подобия равен

\[\frac{BT}{BA} = \frac{119}{13\cdot 13} = \frac{119}{169}.\]

Значит,

\[TH = AC\cdot\frac{119}{169} = \frac{1190}{169}.\]

Шаг 11. Длина MK

Отрезок \(MK\) — хорда окружности с диаметром \(AH\), а вписанный угол \(\angle MAK\), опирающийся на неё, равен \(\alpha\). Поэтому

\[MK = AH\cdot\sin\alpha = \frac{120}{13}\cdot\frac{12}{13} = \frac{1440}{169}.\]

Важно! Хорда равна диаметру, умноженному на синус вписанного угла, который на неё опирается: \(MK = 2R\sin\angle MAK\), а здесь \(2R = AH\).

Шаг 12. Считаем \(EK\)

Точка \(E\) лежит между \(M\) и \(K\), поэтому

\[MK = ME + EK.\]

По шагу 8 \(ME = TH\), значит,

\[EK = MK - TH =\]

\[= \frac{1440}{169} - \frac{1190}{169} = \frac{250}{169}.\]

Важно! Здесь используется, что \(E\) — внутренняя точка отрезка \(MK\). На чертеже это видно, но в решении лучше написать об этом отдельной строкой.

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(EK = \dfrac{250}{169}\).

Ответ: б) \(EK = \dfrac{250}{169}\)

Идея решения

Все точки заданы отношениями на сторонах — значит, их удобно записать через два вектора \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\). Тогда «параллелограмм» превращается в равенство двух векторов, а «перпендикулярность» — в равенство нулю скалярного произведения. Никаких хитрых построений не потребуется.

Пункт а). Шаг 1. Вводим векторы

Обозначим

\[\vec{b} = \vec{AB},\qquad \vec{c} = \vec{AC}.\]

Все точки будем задавать векторами из вершины \(A\).

Шаг 2. Записываем точки

Точка \(C_1\) делит \(AB\) в отношении \(8 : 3\) от \(A\), то есть \(AC_1 = \frac{8}{11}AB\):

\[\vec{AC_1} = \frac{8}{11}\vec{b}.\]

Точка \(B_1\) делит \(AC\) в отношении \(1 : 3\) от \(A\), то есть \(AB_1 = \frac14 AC\):

\[\vec{AB_1} = \frac14\vec{c}.\]

Точка \(A_1\) делит \(BC\) в отношении \(1 : 2\) от \(B\), то есть \(\vec{BA_1} = \frac13\vec{BC}\):

\[\vec{AA_1} = \vec{b} + \frac13\left(\vec{c} - \vec{b}\right) =\]

\[= \frac23\vec{b} + \frac13\vec{c}.\]

Важно! Отношение \(1 : 2\) «от \(B\)» означает, что точка стоит на трети пути от \(B\) к \(C\), а не на половине. Здесь путают чаще всего.

Шаг 3. Ищем точку D

Точка \(D\) лежит на \(BB_1\):

\[\vec{AD} = \vec{b} + t\left(\frac14\vec{c} - \vec{b}\right) =\]

\[= (1-t)\vec{b} + \frac{t}{4}\vec{c}.\]

Она же лежит на \(CC_1\):

\[\vec{AD} = \vec{c} + s\left(\frac{8}{11}\vec{b} - \vec{c}\right) =\]

\[= \frac{8s}{11}\vec{b} + (1-s)\vec{c}.\]

Векторы \(\vec b\) и \(\vec c\) не параллельны, поэтому разложение по ним единственно, и коэффициенты можно приравнять:

\[1 - t = \frac{8s}{11},\qquad \frac{t}{4} = 1 - s.\]

Из второго уравнения \(t = 4 - 4s\). Подставляем в первое:

\[1 - 4 + 4s = \frac{8s}{11},\]

\[-33 + 44s = 8s,\qquad s = \frac{11}{12},\]

\[t = \frac13.\]

Значит,

\[\vec{AD} = \frac23\vec{b} + \frac{1}{12}\vec{c}.\]

Важно! Приравнивать коэффициенты можно только потому, что \(\vec b\) и \(\vec c\) неколлинеарны (иначе треугольника бы не было). Это обязательно упомянуть в решении.

Шаг 4. Сравниваем два вектора

\[\vec{B_1A_1} = \vec{AA_1} - \vec{AB_1} =\]

\[= \frac23\vec{b} + \frac13\vec{c} - \frac14\vec{c} =\]

\[= \frac23\vec{b} + \frac{1}{12}\vec{c}.\]

Получилось ровно то же, что и \(\vec{AD}\):

\[\vec{AD} = \vec{B_1A_1}.\]

Равенство векторов означает, что отрезки \(AD\) и \(B_1A_1\) параллельны, равны по длине и одинаково направлены. А если в четырёхугольнике одна пара сторон параллельна и равна, то это параллелограмм. Значит, \(ADA_1B_1\) — параллелограмм. Пункт а) доказан.

Другой взгляд (без векторов)

Из \(t = \frac13\) следует \(BD : DB_1 = 1 : 2\). Но и \(BA_1 : A_1C = 1 : 2\). Значит, в треугольнике \(BB_1C\) точки \(D\) и \(A_1\) делят стороны \(BB_1\) и \(BC\) в одинаковом отношении, и по теореме Фалеса \(DA_1 \parallel B_1C\), то есть \(DA_1 \parallel AC\). При этом

\[DA_1 = \frac13 B_1C = \frac13\cdot\frac34 AC = \frac14 AC = AB_1,\]

то есть \(DA_1\) и \(AB_1\) параллельны и равны — снова параллелограмм.

Пункт б). Шаг 5. Что означает перпендикулярность

Обозначим \(AB = m\), \(AC = n = 16\). Тогда

\[\vec b\cdot\vec b = m^2,\qquad \vec c\cdot\vec c = n^2,\]

\[\vec b\cdot\vec c = mn\cos A.\]

Условие \(AD \perp BC\) означает

\[\vec{AD}\cdot\vec{BC} = 0,\qquad \vec{BC} = \vec c - \vec b.\]

Шаг 6. Раскрываем скалярное произведение

\[\left(\frac23\vec b + \frac{1}{12}\vec c\right)\cdot\left(\vec c - \vec b\right) = 0,\]

\[\frac23\left(\vec b\cdot\vec c\right) - \frac23 m^2 +\]

\[+\ \frac{1}{12}n^2 - \frac{1}{12}\left(\vec b\cdot\vec c\right) = 0.\]

Собираем подобные (\(\frac23 - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}\)) и умножаем всё на 12:

\[7\left(\vec b\cdot\vec c\right) = 8m^2 - n^2.\]

Шаг 7. Подключаем теорему косинусов

\[BC^2 = \left|\vec c - \vec b\right|^2 =\]

\[= m^2 + n^2 - 2\left(\vec b\cdot\vec c\right) = 225,\]

\[\vec b\cdot\vec c = \frac{m^2 + n^2 - 225}{2}.\]

Шаг 8. Находим AB

Подставляем в равенство шага 6:

\[\frac72\left(m^2 + n^2 - 225\right) = 8m^2 - n^2,\]

\[7m^2 + 7n^2 - 1575 = 16m^2 - 2n^2,\]

\[9n^2 - 9m^2 = 1575,\qquad n^2 - m^2 = 175.\]

Так как \(n = 16\), то

\[m^2 = 256 - 175 = 81,\qquad AB = 9.\]

Шаг 9. Угол A

\[\cos A = \frac{m^2 + n^2 - 225}{2mn} =\]

\[= \frac{81 + 256 - 225}{2\cdot 9\cdot 16} = \frac{112}{288} = \frac{7}{18},\]

\[\sin A = \sqrt{1 - \frac{49}{324}} = \frac{5\sqrt{11}}{18}.\]

Важно! Синус берём со знаком «плюс»: угол треугольника лежит между \(0^\circ\) и \(180^\circ\), а там синус положителен.

Шаг 10. Радиус описанной окружности

По теореме синусов

\[\frac{BC}{\sin A} = 2R,\]

\[R = \frac{15}{2\cdot\frac{5\sqrt{11}}{18}} = \frac{15\cdot 18}{10\sqrt{11}} =\]

\[= \frac{27}{\sqrt{11}} = \frac{27\sqrt{11}}{11}.\]

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(R = \dfrac{27\sqrt{11}}{11}\).

Ответ: б) \(R = \dfrac{27\sqrt{11}}{11}\)

Идея решения

Слово «основание» в равнобедренном треугольнике указывает, какие стороны боковые. Из двух условий сразу получится, что три отрезка равны: \(AB = BD = BC\). Дальше работают равнобедренный треугольник и накрест лежащие углы. Во втором пункте — короткий счёт в координатах.

Пункт а). Шаг 1. Что даёт «основание AD»

Треугольник \(ABD\) равнобедренный с основанием \(AD\). Значит, боковые стороны равны:

\[AB = BD.\]

Шаг 2. Что даёт «основание CD»

Треугольник \(BCD\) равнобедренный с основанием \(CD\), поэтому

\[BC = BD.\]

Складывая два вывода:

\[AB = BD = BC.\]

Важно! Основание — это сторона, против которой лежит вершина; боковые стороны — две другие. Если перепутать и написать \(AD = BD\), решение сразу уйдёт не туда.

Шаг 3. Равные углы

Треугольник \(ABC\) равнобедренный: \(AB = BC\). Значит, углы при основании \(AC\) равны:

\[\angle BAC = \angle BCA.\]

Шаг 4. Накрест лежащие углы

В трапеции \(BC \parallel AD\), а \(AC\) — секущая. Тогда

\[\angle BCA = \angle CAD\]

как накрест лежащие.

Шаг 5. Вывод

Из шагов 3 и 4

\[\angle BAC = \angle CAD,\]

то есть луч \(AC\) делит угол \(BAD\) пополам — это биссектриса. Пункт а) доказан.

Пункт б). Шаг 6. Координаты

Обозначим \(m = BD = AB = BC = 8{,}5\) и поставим основание \(AD\) на ось абсцисс:

\[A(0;\ 0),\quad D(d;\ 0),\quad B(x;\ h),\quad C(x + m;\ h).\]

(Точка \(C\) сдвинута от \(B\) ровно на \(BC = m\) вправо, потому что \(BC \parallel AD\).)

Шаг 7. Где стоит точка B

Из \(AB = BD\):

\[x^2 + h^2 = (d - x)^2 + h^2,\]

\[x^2 = (d-x)^2,\qquad x = \frac{d}{2}.\]

То есть \(B\) стоит над серединой \(AD\). Кроме того, \(AB = m\) даёт

\[\frac{d^2}{4} + h^2 = m^2.\]

Шаг 8. Используем диагональ AC

\[AC^2 = \left(\frac{d}{2} + m\right)^2 + h^2 =\]

\[= \frac{d^2}{4} + md + m^2 + h^2.\]

Но \(\dfrac{d^2}{4} + h^2 = m^2\), поэтому

\[AC^2 = 2m^2 + md = 225,\]

\[md = 225 - 2m^2.\]

Шаг 9. Считаем CD

\[CD^2 = \left(d - \frac{d}{2} - m\right)^2 + h^2 =\]

\[= \frac{d^2}{4} - md + m^2 + h^2 =\]

\[= 2m^2 - md.\]

Подставляем \(md\) из шага 8:

\[CD^2 = 2m^2 - \left(225 - 2m^2\right) =\]

\[= 4m^2 - 225.\]

Осталось подставить \(m = 8{,}5\):

\[CD^2 = 4\cdot 72{,}25 - 225 = 289 - 225 = 64,\]

\[CD = 8.\]

Важно! Обратите внимание на формулу \(CD^2 = 4BD^2 - AC^2\): высота \(h\) и основание \(d\) по отдельности не понадобились, они сократились. Это типичный приём — не искать всё подряд, а собирать нужную комбинацию.

Другой взгляд (без координат)

Так как \(BA = BC = BD\), точки \(A\), \(C\), \(D\) лежат на одной окружности с центром \(B\) и радиусом \(BD\). Пусть \(A'\) — точка этой окружности, диаметрально противоположная \(A\).

Тогда \(\angle ACA' = 90^\circ\) (опирается на диаметр), поэтому

\[CA' = \sqrt{AA'^2 - AC^2} = \sqrt{4BD^2 - AC^2}.\]

Кроме того, \(\angle ADA' = 90^\circ\), то есть \(A'D \perp AD\). Прямая \(BC\) параллельна \(AD\) и проходит через середину \(AA'\), поэтому она пересекает отрезок \(A'D\) ровно посередине и перпендикулярно ему — то есть является серединным перпендикуляром к \(A'D\). Значит, \(CD = CA'\), и снова

\[CD = \sqrt{4BD^2 - AC^2} = 8.\]

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(CD = 8\).

Ответ: б) \(CD = 8\)

Идея решения

В прямоугольнике удобно сразу ввести координаты. Тогда «перпендикулярно» — это скалярное произведение, а «равноудалена» — равенство квадратов расстояний. Два условия дадут связь между сторонами, а из неё оба угла окажутся по \(30^\circ\).

Пункт а). Шаг 1. Координаты

Пусть \(AB = p\), \(AD = q\). Поставим прямоугольник так:

\[A(0;\ 0),\quad B(0;\ p),\quad C(q;\ p),\quad D(q;\ 0).\]

Точка \(M\) лежит на стороне \(AD\), значит, \(M(m;\ 0)\), где \(0 < m < q\).

Шаг 2. Условие перпендикулярности

Векторы:

\[\vec{BM} = (m;\ -p),\qquad \vec{AC} = (q;\ p).\]

Перпендикулярность — это равенство нулю скалярного произведения:

\[mq - p^2 = 0,\qquad m = \frac{p^2}{q}.\]

Важно! Скалярное произведение векторов \((x_1;y_1)\) и \((x_2;y_2)\) равно \(x_1x_2 + y_1y_2\). Это самый быстрый способ записать перпендикулярность — без углов и тангенсов.

Шаг 3. Условие MB = MD

\[MB^2 = m^2 + p^2,\qquad MD^2 = (q - m)^2.\]

Приравниваем:

\[m^2 + p^2 = q^2 - 2qm + m^2,\]

\[p^2 = q^2 - 2qm.\]

Подставляем \(m = \dfrac{p^2}{q}\):

\[p^2 = q^2 - 2p^2,\qquad q^2 = 3p^2,\]

\[q = p\sqrt3.\]

Шаг 4. Считаем углы

Треугольник \(ABM\) прямоугольный (угол \(A\) прямой), поэтому

\[\operatorname{tg}\angle ABM = \frac{AM}{AB} = \frac{m}{p} = \frac{p}{q} = \frac{1}{\sqrt3},\]

\[\angle ABM = 30^\circ.\]

Треугольник \(BCD\) тоже прямоугольный (угол \(C\) прямой), и

\[\operatorname{tg}\angle DBC = \frac{CD}{BC} = \frac{p}{q} = \frac{1}{\sqrt3},\]

\[\angle DBC = 30^\circ.\]

Оба угла равны \(30^\circ\), пункт а) доказан.

Важно! В шаге 4 использовано \(m = \dfrac{p^2}{q}\), поэтому \(\dfrac{m}{p} = \dfrac{p}{q}\). Без этой подстановки углы не «схлопнутся».

Пункт б). Шаг 5. Числа

Дано \(BC = 9\), а \(BC = q\), поэтому

\[q = 9,\qquad p = \frac{q}{\sqrt3} = 3\sqrt3,\]

\[m = \frac{p^2}{q} = \frac{27}{9} = 3.\]

Получаем точки:

\[M(3;\ 0),\qquad C\left(9;\ 3\sqrt3\right),\]

а центр прямоугольника \(O\) — середина диагонали \(AC\):

\[O\left(4{,}5;\ \frac{3\sqrt3}{2}\right).\]

Шаг 6. Уравнение прямой CM

Направляющий вектор:

\[\vec{MC} = \left(6;\ 3\sqrt3\right) \sim \left(2;\ \sqrt3\right).\]

Вектор нормали к ней — \(\left(\sqrt3;\ -2\right)\), поэтому прямая \(CM\) задаётся уравнением

\[\sqrt3(x - 3) - 2(y - 0) = 0,\]

\[\sqrt3\,x - 2y - 3\sqrt3 = 0.\]

Шаг 7. Расстояние от точки до прямой

Формула:

\[d = \frac{\left|Ax_0 + By_0 + C\right|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.\]

Подставляем \(A = \sqrt3\), \(B = -2\), \(C = -3\sqrt3\) и точку \(O\):

\[Ax_0 + By_0 + C =\]

\[= \sqrt3\cdot 4{,}5 - 2\cdot\frac{3\sqrt3}{2} - 3\sqrt3 =\]

\[= 4{,}5\sqrt3 - 3\sqrt3 - 3\sqrt3 = -1{,}5\sqrt3.\]

Знаменатель:

\[\sqrt{3 + 4} = \sqrt7.\]

Значит,

\[d = \frac{1{,}5\sqrt3}{\sqrt7} = \frac{3\sqrt3}{2\sqrt7} = \frac{3\sqrt{21}}{14}.\]

Важно! В знаменателе стоит длина вектора нормали \(\sqrt{A^2+B^2}\) — её часто забывают. И не забудьте избавиться от иррациональности в знаменателе: \(\dfrac{3\sqrt3}{2\sqrt7} = \dfrac{3\sqrt{21}}{14}\).

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(d = \dfrac{3\sqrt{21}}{14}\).

Ответ: б) \(\dfrac{3\sqrt{21}}{14}\)