№5. Вероятности сложных событий

Шаг 1. Берём противоположное событие

Прямой подсчёт потребовал бы разобрать случаи «ровно одна не перегорит», «ровно две», «все три». Противоположное событие всего одно: перегорели все три лампы.

Шаг 2. Считаем его вероятность

Лампы перегорают независимо:

\[P(\overline{A}) = 0{,}2^3 = 0{,}008.\]

Шаг 3. Вычитаем из единицы

\[P(A) = 1 - 0{,}008 = 0{,}992.\]

Шаг 1. Смотрим на соперника Куницына

Исход здесь — кто достанется Куницыну в соперники. Сам с собой он не играет, поэтому

\[n = 26 - 1 = 25.\]

Шаг 2. Сколько соперников подходит

Россиян в турнире \(16\), но один из них — сам Куницын, и его надо исключить:

\[m = 16 - 1 = 15.\]

Это главная ловушка задачи: если взять \(\dfrac{16}{26}\), ответ получится неверный.

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{15}{25} = \dfrac35 = 0{,}6.\]

Шаг 1. Приводим обе вероятности к одному виду

В условии одна вероятность дана для успеха, другая — для брака. Переведём вторую:

\[P(\text{крышка закручена правильно}) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96.\]

Шаг 2. Считаем, когда бутылка попадёт в продажу

Для этого нужны оба успеха сразу, а операции независимы:

\[P(\text{в продажу}) = 0{,}94\cdot 0{,}96 = 0{,}9024.\]

Шаг 3. Переходим к противоположному событию

\[P = 1 - 0{,}9024 = 0{,}0976.\]

Шаг 1. Что значит «потребовалось два броска»

Бросков оказалось ровно два, значит после первого броска сумма ещё не превысила \(8\), а после второго — превысила. Первое условие выполняется всегда: одна кость даёт не больше \(6\), а \(6 < 8\). Поэтому остаётся одно требование:

\[a + b > 8,\quad\text{то есть}\quad a + b \geqslant 9,\]

где \(a\) и \(b\) — очки первого и второго бросков.

Шаг 2. Считаем все исходы

Два броска дают \(n = 6\cdot 6 = 36\) равновозможных пар.

Шаг 3. Считаем благоприятные

Выпишем пары с суммой не меньше \(9\) — на рисунке это выделенный угол таблицы:

\[(3;6),\ (4;5),\ (4;6),\ (5;4),\ (5;5),\ (5;6),\ (6;3),\ (6;4),\ (6;5),\ (6;6).\]

Их \(m = 10\).

Шаг 4. Делим и округляем

\[P = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18} = 0{,}2777\ldots \approx 0{,}278.\]

Шаг 1. Считаем через противоположное событие

Пусть патронов \(n\). Событие «поразит цель» противоположно событию «все \(n\) выстрелов — промах». Вероятность промаха при одном выстреле равна \(1 - 0{,}5 = 0{,}5\), выстрелы независимы, поэтому

\[P(\text{поразит}) = 1 - 0{,}5^n.\]

Шаг 2. Записываем требование

\[1 - 0{,}5^n \geqslant 0{,}8,\qquad 0{,}5^n \leqslant 0{,}2.\]

Шаг 3. Перебираем n

\[n = 1:\ 0{,}5 > 0{,}2\ -\ \text{мало};\]
\[n = 2:\ 0{,}25 > 0{,}2\ -\ \text{всё ещё мало};\]
\[n = 3:\ 0{,}125 \leqslant 0{,}2\ -\ \text{подходит}.\]

Вероятность поражения при трёх патронах равна \(1 - 0{,}125 = 0{,}875\), и это уже не меньше \(0{,}8\). Значит наименьшее число патронов — \(3\).

Шаг 1. Что нужно

Требуется, чтобы занят был и первый, и второй, и третий продавец одновременно.

Шаг 2. Перемножаем

Занятость продавцов не зависит друг от друга, поэтому вероятности перемножаются:

\[P = 0{,}4\cdot 0{,}4\cdot 0{,}4 = 0{,}4^3.\]

Шаг 3. Считаем

\[0{,}4^3 = 0{,}064.\]