№5. Вероятности сложных событий

Шаг 1. Замечаем вложенность

Если компьютер прослужил больше двух лет, то он тем более прослужил больше года. Значит событие «больше двух лет» целиком лежит внутри события «больше года».

Шаг 2. Разбиваем большее событие на части

Событие «прослужит больше года» распадается на две несовместные части: «прослужит от года до двух лет» и «прослужит больше двух лет». Поэтому

\[0{,}95 = P + 0{,}87.\]

Шаг 3. Находим искомое

\[P = 0{,}95 - 0{,}87 = 0{,}08.\]

Шаг 1. Берём противоположное событие

Слова «хотя бы один» — сигнал считать через противоположное событие. Событию «хотя бы один исправен» противоположно событие «оба неисправны»: если неверно, что исправен хотя бы один, значит исправных нет совсем.

Шаг 2. Вероятность того, что оба неисправны

Автоматы независимы:

\[P(\text{оба неисправны}) = 0{,}07\cdot 0{,}07 = 0{,}0049.\]

Шаг 3. Вычитаем из единицы

\[P = 1 - 0{,}0049 = 0{,}9951.\]

Шаг 1. Сужаем пространство исходов

Фраза «известно, что...» означает условную вероятность: часть исходов уже отпала, и считать надо только среди оставшихся. Шестёрка не выпадала ни разу, поэтому на каждом броске осталось по пять значений:

\[n = 5\cdot 5 = 25.\]

Весь шестой столбец и вся шестая строка таблицы вычёркиваются.

Шаг 2. Ищем сумму 8 среди оставшихся

Подходят пары \((3;5)\), \((4;4)\), \((5;3)\). Пары \((2;6)\) и \((6;2)\) тоже дают \(8\), но они вычеркнуты условием.

\[m = 3.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{3}{25} = \dfrac{12}{100} = 0{,}12.\]

Шаг 1. Вероятность промаха

\[P(\text{промах}) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3.\]

Шаг 2. Последовательность задана жёстко

В условии указан конкретный порядок: попал, попал, попал, промахнулся. Перебирать варианты не нужно, поэтому никаких сочетаний здесь нет — просто перемножаем вероятности независимых выстрелов:

\[P = 0{,}7\cdot 0{,}7\cdot 0{,}7\cdot 0{,}3.\]

Шаг 3. Считаем

\[0{,}7^3 = 0{,}343,\qquad P = 0{,}343\cdot 0{,}3 = 0{,}1029.\]

Шаг 1. Что дано и что ищем

Обозначим \(A\) — первая станция потребует вмешательства, \(B\) — вторая. По условию

\[P(A) = P(B) = 0{,}25,\qquad P(A\cap B) = 0{,}13.\]

Нужна вероятность того, что не произойдёт ни \(A\), ни \(B\).

Шаг 2. Разбираем круги на части

Важно: число \(0{,}25\) относится ко всему кругу \(A\) — в него уже входит пересечение. Поэтому «только первая станция» имеет вероятность

\[0{,}25 - 0{,}13 = 0{,}12,\]

и столько же приходится на «только вторую».

Шаг 3. Считаем объединение

\[P(A\cup B) = 0{,}12 + 0{,}13 + 0{,}12 = 0{,}37.\]

Тот же результат даёт формула \(P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0{,}25 + 0{,}25 - 0{,}13\): пересечение вычитается, потому что иначе его учли бы дважды.

Шаг 4. Переходим к противоположному событию

«Ни одна станция не потребует вмешательства» — это ровно то, что не вошло в объединение:

\[P = 1 - 0{,}37 = 0{,}63.\]

Шаг 1. Вероятность промаха

События «попал» и «промахнулся» противоположны, поэтому

\[P(\text{промах}) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1.\]

Шаг 2. Перемножаем

Выстрелы по разным мишеням независимы, а нам нужно, чтобы промах случился во всех трёх. Вероятности независимых событий перемножаются:

\[P = 0{,}1\cdot 0{,}1\cdot 0{,}1 = 0{,}001.\]