№5. Вероятности сложных событий

Шаг 1. Записываем обе вероятности

Все \(2^{17}\) последовательностей орлов и решек равновозможны. Выпасть ровно \(k\) орлам можно столькими способами, сколькими можно выбрать номера этих бросков, то есть \(C_{17}^{k}\). Значит

\[P_8 = \dfrac{C_{17}^{8}}{2^{17}},\qquad P_7 = \dfrac{C_{17}^{7}}{2^{17}}.\]

Шаг 2. Делим одно на другое

Знаменатели одинаковы и сокращаются:

\[\dfrac{P_8}{P_7} = \dfrac{C_{17}^{8}}{C_{17}^{7}}.\]

Шаг 3. Считаем отношение сочетаний

\[\dfrac{C_{17}^{8}}{C_{17}^{7}}
= \dfrac{\dfrac{17!}{8!\,9!}}{\dfrac{17!}{7!\,10!}}
= \dfrac{7!\,10!}{8!\,9!} = \dfrac{10}{8} = 1{,}25.\]

Факториал \(17!\) сокращается целиком, а из оставшихся дробей выживают только \(10\) и \(8\).

Шаг 1. Переходим к крайним зонам

Одно условие задано словом «меньше», другое — словом «больше», и напрямую их не сложить. Перевернём каждое через противоположное событие:

\[P(\text{масса не меньше } 810) = 1 - 0{,}96 = 0{,}04,\]
\[P(\text{масса не больше } 790) = 1 - 0{,}82 = 0{,}18.\]

Шаг 2. Вся шкала делится на три части

Масса буханки попадает ровно в одну из трёх зон: не больше \(790\), между \(790\) и \(810\), не меньше \(810\). Их вероятности в сумме дают единицу:

\[0{,}18 + P + 0{,}04 = 1.\]

Шаг 3. Находим искомое

\[P = 1 - 0{,}18 - 0{,}04 = 0{,}78.\]

Тот же ответ даёт формула объединения: \(P = 0{,}96 + 0{,}82 - 1 = 0{,}78\).

Шаг 1. Вероятность того, что одна батарейка исправна

\[1 - 0{,}04 = 0{,}96.\]

Шаг 2. Перемножаем

Батарейки в упаковке независимы, нужны обе исправные:

\[P = 0{,}96\cdot 0{,}96 = 0{,}96^2.\]

Шаг 3. Считаем

\[0{,}96^2 = 0{,}9216.\]

Шаг 1. Разбираем два случая

Батарейка либо исправна, либо нет:

\[P(\text{неисправна}) = 0{,}05,\qquad P(\text{исправна}) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95.\]

Забракована она может быть в обоих случаях, но по разным причинам — поэтому разбираем их отдельно.

Шаг 2. Идём по каждой ветви

Исправна и забракована по ошибке:

\[0{,}95\cdot 0{,}01 = 0{,}0095.\]

Неисправна и забракована как положено:

\[0{,}05\cdot 0{,}95 = 0{,}0475.\]

Шаг 3. Складываем

Случаи несовместны:

\[P = 0{,}0095 + 0{,}0475 = 0{,}057.\]

Здесь легко перепутать числа: \(0{,}95\) встречается дважды, но в одном месте это доля исправных батареек, а в другом — вероятность правильно забраковать неисправную.

Шаг 1. Сужаем пространство исходов

Условие «известно, что пятёрки не было» убирает из таблицы всю пятую строку и весь пятый столбец. На каждом броске остаётся по пять значений:

\[n = 5\cdot 5 = 25.\]

Шаг 2. Ищем сумму 9 среди оставшихся

Подходят только \((3;6)\) и \((6;3)\). Пара \((4;5)\) и \((5;4)\) дала бы \(9\), но пятёрка запрещена.

\[m = 2.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{2}{25} = \dfrac{8}{100} = 0{,}08.\]

Шаг 1. Фломастеры достают по одному и не возвращают

Всего фломастеров \(7 + 3 + 5 = 15\). После первого вынимания в коробке остаётся \(14\) штук — это ключевой момент, знаменатель меняется.

Шаг 2. Разбираем два порядка

Нужны один синий и один красный, но порядок не задан, поэтому случаев два.

Сначала синий, потом красный:

\[\dfrac{7}{15}\cdot\dfrac{3}{14} = \dfrac{21}{210}.\]

Сначала красный, потом синий:

\[\dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{7}{14} = \dfrac{21}{210}.\]

Шаг 3. Складываем

Эти случаи несовместны, поэтому вероятности складываются:

\[P = \dfrac{21}{210} + \dfrac{21}{210} = \dfrac{42}{210} = \dfrac15 = 0{,}2.\]

Если забыть про второй порядок, получится \(0{,}1\) — вдвое меньше верного ответа.