№5. Вероятности сложных событий

Шаг 1. Вероятность промаха

\[1 - 0{,}7 = 0{,}3.\]

Шаг 2. Последовательность задана

Порядок указан в условии, поэтому перебирать варианты не нужно — перемножаем вероятности независимых выстрелов:

\[P = 0{,}7\cdot 0{,}7\cdot 0{,}3\cdot 0{,}3 = 0{,}7^2\cdot 0{,}3^2.\]

Шаг 3. Считаем

\[0{,}49\cdot 0{,}09 = 0{,}0441.\]

Шаг 1. Разбираем два случая

Колба либо с дефектом, либо без него:

\[P(\text{с дефектом}) = 0{,}02,\qquad P(\text{без дефекта}) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98.\]

Забракованной колба может оказаться и в том, и в другом случае.

Шаг 2. Идём по ветвям

Без дефекта и забракована по ошибке:

\[0{,}98\cdot 0{,}01 = 0{,}0098.\]

С дефектом и забракована правильно:

\[0{,}02\cdot 0{,}97 = 0{,}0194.\]

Шаг 3. Складываем

\[P = 0{,}0098 + 0{,}0194 = 0{,}0292.\]

Шаг 1. Сужаем пространство исходов

Пятёрка исключена, поэтому на каждом броске остаётся по пять значений:

\[n = 5\cdot 5 = 25.\]

Шаг 2. Ищем сумму 10

Подходят \((4;6)\) и \((6;4)\). Пара \((5;5)\) тоже дала бы \(10\), но пятёрка запрещена условием.

\[m = 2.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{2}{25} = 0{,}08.\]

Шаг 1. Противоположное событие

Событию «хотя бы одна лампа не перегорит» противоположно событие «перегорели все три».

Шаг 2. Считаем его вероятность

\[P(\overline{A}) = 0{,}25^3 = 0{,}015625.\]

Шаг 3. Вычитаем и округляем

\[P(A) = 1 - 0{,}015625 = 0{,}984375 \approx 0{,}984.\]

Шаг 1. Считаем, что вообще попадает в продажу

Главная тонкость: вероятность ищется не среди всех произведённых тарелок, а среди тех, что дошли до прилавка. Возьмём для удобства \(100\) тарелок.

Дефектных \(20\), из них контроль отлавливает \(85\;\%\):

\[20\cdot 0{,}85 = 17\ \text{изымают},\qquad 20 - 17 = 3\ \text{попадают в продажу}.\]

Качественных \(80\), и все они идут в продажу.

Шаг 2. Всего на прилавке

\[80 + 3 = 83\ \text{тарелки}.\]

Шаг 3. Делим и округляем

\[P = \dfrac{80}{83} = 0{,}9638\ldots \approx 0{,}96.\]

Ответ \(0{,}8\) здесь неверен: он отвечал бы на вопрос о доле качественных среди произведённых, а спрашивают про купленную тарелку.

Шаг 1. Обозначаем события

\(A\) — кофе закончится в первом автомате, \(B\) — во втором:

\[P(A) = P(B) = 0{,}2,\qquad P(A\cap B) = 0{,}16.\]

Шаг 2. Находим вероятность объединения

\[P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0{,}2 + 0{,}2 - 0{,}16 = 0{,}24.\]

Пересечение вычитается, потому что при сложении \(P(A)\) и \(P(B)\) случай «закончился в обоих» учтён дважды.

Шаг 3. Переходим к противоположному событию

«Кофе останется в обоих» — значит не случилось ни \(A\), ни \(B\):

\[P = 1 - 0{,}24 = 0{,}76.\]

Заметьте, что автоматы здесь не независимы: будь они независимы, вероятность \(A\cap B\) равнялась бы \(0{,}2\cdot 0{,}2 = 0{,}04\), а не \(0{,}16\).