№2. Векторы

Шаг 1. Переносим прямую

Все боковые рёбра призмы параллельны, поэтому \(AA_1 \parallel FF_1\). Прямая \(FF_1\) пересекает прямую \(C_1F\) в точке \(F\), значит искомый угол — это угол \(C_1FF_1\).

Шаг 2. Треугольник C₁F₁F прямоугольный

Ребро \(FF_1\) перпендикулярно плоскости верхнего основания, а отрезок \(F_1C_1\) лежит в этой плоскости. Поэтому угол при вершине \(F_1\) прямой.

Шаг 3. Находим катеты

\[FF_1 = 30.\]

Отрезок \(F_1C_1\) соединяет противоположные вершины правильного шестиугольника — это его большая диагональ, равная удвоенной стороне:

\[F_1C_1 = 2\cdot 30 = 60.\]

Шаг 4. Тангенс

\[\mathrm{tg}\,\angle C_1FF_1 = \dfrac{F_1C_1}{FF_1} = \dfrac{60}{30} = 2.\]

Шаг 1. Находим сторону основания призмы

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, и окружность основания цилиндра в него вписана. Вписанная в квадрат окружность касается всех сторон, поэтому её диаметр равен стороне квадрата:

\[a = 2R = 2\cdot 3 = 6.\]

Шаг 2. Высота призмы

Цилиндр вписан, значит его основания лежат в основаниях призмы, и высота призмы равна высоте цилиндра:

\[h = 3.\]

Шаг 3. Боковая поверхность

\[S_{\text{бок}} = P\cdot h = 4a\cdot h = 4\cdot 6\cdot 3 = 72.\]

Шаг 1. Что происходит с фигурой

Если все рёбра умножить на одно и то же число, получится тело, подобное исходному, с коэффициентом подобия \(k = 6\).

Шаг 2. Отношение объёмов

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:

\[\dfrac{V_{\text{нов}}}{V} = k^3 = 6^3 = 216.\]

Проверить это можно и формулой: объём правильного тетраэдра с ребром \(a\) равен \(\dfrac{a^3\sqrt2}{12}\); при замене \(a\) на \(6a\) множитель \(a^3\) вырастает в \(216\) раз.

Шаг 1. Связываем размеры

Вписанный шар касается обоих оснований и боковой поверхности. Поэтому радиус основания цилиндра равен радиусу шара \(R\), а высота цилиндра равна диаметру:

\[H = 2R.\]

Шаг 2. Полная поверхность цилиндра

\[S_{\text{цил}} = 2\pi R^2 + 2\pi R H = 2\pi R^2 + 2\pi R\cdot 2R = 6\pi R^2.\]

По условию это \(6\), значит

\[6\pi R^2 = 6,\qquad \pi R^2 = 1.\]

Шаг 3. Поверхность шара

\[S_{\text{шара}} = 4\pi R^2 = 4\cdot 1 = 4.\]

Шаг 1. Что отсекается

Пусть \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\). Плоскость проходит через \(MN\) параллельно боковому ребру, поэтому отсечённая фигура — призма с основанием \(AMN\) и той же высотой.

Шаг 2. Периметр нового основания

Треугольник \(AMN\) подобен треугольнику \(ABC\) с коэффициентом \(k = \dfrac12\), поэтому каждая его сторона вдвое меньше:

\[P_{AMN} = \dfrac12 P_{ABC}.\]

Шаг 3. Сравниваем боковые поверхности

У прямой призмы боковая поверхность равна произведению периметра основания на боковое ребро. Боковое ребро у обеих призм одно и то же, значит боковые поверхности относятся как периметры:

\[S_{\text{отс}} = \dfrac12\cdot 42 = 21.\]

Здесь важно не перепутать: площади оснований уменьшились бы в \(4\) раза, а боковая поверхность — только в \(2\), потому что она пропорциональна периметру, а не площади.

Шаг 1. Узнаём фигуру

Точки \(A\), \(D\), \(A_1\) лежат в грани \(ADD_1A_1\) и образуют треугольник. Точки \(B\), \(C\), \(B_1\) получаются из них сдвигом на ребро \(AB\): \(B\) из \(A\), \(C\) из \(D\), \(B_1\) из \(A_1\). Значит это треугольная призма с основанием \(ADA_1\) и боковым ребром \(AB\).

Шаг 2. Площадь основания

Угол \(DAA_1\) прямой, катеты — рёбра \(AD\) и \(AA_1\):

\[S_{ADA_1} = \dfrac12\cdot AD\cdot AA_1 = \dfrac12\cdot 4\cdot 5 = 10.\]

Шаг 3. Объём

Ребро \(AB\) перпендикулярно грани \(ADD_1A_1\), поэтому оно и есть высота призмы:

\[V = S_{ADA_1}\cdot AB = 10\cdot 3 = 30.\]