№2. Векторы

Шаг 1. Записываем обе площади

Поверхность куба — шесть равных квадратов. Если ребро равно \(x\), то

\[S = 6x^2,\qquad S_{\text{нов}} = 6(x+1)^2.\]

Шаг 2. Составляем уравнение

\[6(x+1)^2 - 6x^2 = 18.\]

Разделим обе части на \(6\):

\[(x+1)^2 - x^2 = 3.\]

Шаг 3. Решаем

\[x^2 + 2x + 1 - x^2 = 3,\qquad 2x + 1 = 3,\qquad x = 1.\]

Шаг 1. Что это за многогранник

Точки \(B\), \(C\), \(E\), \(F\) лежат в нижнем основании, а \(B_1\), \(C_1\), \(E_1\), \(F_1\) — ровно над ними. Значит это призма с основанием \(BCEF\) и тем же боковым ребром \(12\).

Шаг 2. Основание BCEF — прямоугольник

Пусть сторона шестиугольника равна \(a\). Отрезки \(BC\) и \(EF\) — противоположные стороны шестиугольника, они равны и параллельны, поэтому \(BCEF\) — параллелограмм. Отрезок \(CE\) соединяет вершины через одну, то есть это меньшая диагональ, и она перпендикулярна стороне \(BC\). Значит \(BCEF\) — прямоугольник со сторонами

\[BC = a,\qquad CE = a\sqrt3.\]

Шаг 3. Какую долю основания он занимает

\[S_{BCEF} = a\cdot a\sqrt3 = a^2\sqrt3,\qquad
S_{\text{шест}} = \dfrac{3\sqrt3}{2}a^2.\]

\[\dfrac{S_{BCEF}}{S_{\text{шест}}} = \dfrac{a^2\sqrt3}{\tfrac{3\sqrt3}{2}a^2} = \dfrac{2}{3}.\]

Поэтому

\[S_{BCEF} = \dfrac23\cdot 10 = \dfrac{20}{3}.\]

Шаг 4. Объём

\[V = S_{BCEF}\cdot 12 = \dfrac{20}{3}\cdot 12 = 80.\]

Шаг 1. Где лежит центр шара

Основание конуса — круг на поверхности шара радиуса \(R\). По условию радиус этого круга тоже равен \(R\), а такой круг у шара единственный — большой, и он проходит через центр. Значит центр шара \(O\) лежит в плоскости основания конуса, в его центре.

Шаг 2. Высота конуса

Вершина конуса лежит на сфере, а высота идёт из центра основания, то есть из точки \(O\). Расстояние от центра до любой точки сферы равно \(R\), поэтому

\[h = R.\]

Шаг 3. Объём конуса

\[V_{\text{кон}} = \dfrac13\pi R^2\cdot h = \dfrac13\pi R^3 = 6,\]

откуда

\[\pi R^3 = 18.\]

Шаг 4. Объём шара

\[V_{\text{шара}} = \dfrac43\pi R^3 = \dfrac43\cdot 18 = 24.\]

Шаг 1. Площадь основания

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

\[S_{\text{осн}} = \dfrac12\cdot 3\cdot 4 = 6.\]

Шаг 2. Сторона ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(\dfrac32\) и \(2\):

\[a = \sqrt{1{,}5^2 + 2^2} = \sqrt{2{,}25 + 4} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5.\]

Шаг 3. Боковая поверхность

У прямой призмы боковая поверхность равна периметру основания, умноженному на боковое ребро:

\[P = 4\cdot 2{,}5 = 10,\qquad S_{\text{бок}} = 10\cdot 2 = 20.\]

Шаг 4. Полная поверхность

Оснований два:

\[S = 2 S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2\cdot 6 + 20 = 32.\]

Шаг 1. Записываем объём до и после

\[V = \dfrac13\pi r^2 h.\]

Радиус стал равен \(11r\), высота прежняя:

\[V_{\text{нов}} = \dfrac13\pi (11r)^2 h = \dfrac13\pi\cdot 121 r^2 h.\]

Шаг 2. Делим одно на другое

\[\dfrac{V_{\text{нов}}}{V} = \dfrac{\tfrac13\pi\cdot 121 r^2 h}{\tfrac13\pi r^2 h} = 121.\]

Радиус входит в формулу в квадрате, поэтому увеличение в \(11\) раз даёт рост объёма в \(11^2 = 121\) раз.

Шаг 1. Переносим одну из прямых

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, им параллельными. Призма прямая, все боковые рёбра параллельны, поэтому \(CC_1 \parallel AA_1\). Значит

\[\angle(AE_1,\;CC_1) = \angle(AE_1,\;AA_1) = \angle E_1AA_1.\]

Шаг 2. Треугольник AA₁E₁ прямоугольный

Боковое ребро \(AA_1\) перпендикулярно плоскости верхнего основания, а отрезок \(A_1E_1\) лежит в этой плоскости. Значит \(AA_1 \perp A_1E_1\) и треугольник \(AA_1E_1\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(A_1\).

Шаг 3. Находим катеты

Боковое ребро: \(AA_1 = 32\).

Отрезок \(A_1E_1\) соединяет вершины правильного шестиугольника через одну — это его меньшая диагональ. Для шестиугольника со стороной \(a\) она равна \(a\sqrt3\):

\[A_1E_1 = 32\sqrt3.\]

Шаг 4. Считаем угол

\[\mathrm{tg}\,\angle E_1AA_1 = \dfrac{A_1E_1}{AA_1} = \dfrac{32\sqrt3}{32} = \sqrt3,\]

\[\angle E_1AA_1 = 60^\circ.\]