№2. Векторы

Шаг 1. Диагональ куба через ребро

Пусть ребро куба равно \(a\). Диагональ \(AC_1\) считается по трёхмерной теореме Пифагора: квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений, а у куба они все равны \(a\):

\[AC_1 = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt3.\]

Шаг 2. Находим ребро

\[a\sqrt3 = \sqrt{300}.\]

Возведём обе части в квадрат:

\[3a^2 = 300,\qquad a^2 = 100,\qquad a = 10.\]

Шаг 3. Объём

\[V = a^3 = 10^3 = 1000.\]

Шаг 1. Находим апофему

Апофема — высота боковой грани, проведённая к стороне основания. Пусть \(M\) — середина ребра \(AB\). Боковая грань \(SAB\) равнобедренная (\(SA = SB = 65\)), поэтому \(SM\) — ещё и медиана:

\[MB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{50}{2} = 25.\]

Из прямоугольного треугольника \(SMB\):

\[SM = \sqrt{SB^2 - MB^2} = \sqrt{65^2 - 25^2} = \sqrt{4225 - 625} = \sqrt{3600} = 60.\]

Шаг 2. Боковая поверхность

Все четыре боковые грани равны:

\[S_{\text{бок}} = 4\cdot\dfrac12\cdot AB\cdot SM = 4\cdot\dfrac12\cdot 50\cdot 60 = 6000.\]

Шаг 3. Прибавляем основание

Основание — квадрат со стороной \(50\):

\[S_{\text{осн}} = 50^2 = 2500.\]

\[S = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 6000 + 2500 = 8500.\]

Шаг 1. Что отсекает плоскость

Пусть \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\). Отрезок \(MN\) — средняя линия основания. Плоскость проведена через \(MN\) параллельно боковому ребру, поэтому она пересекает верхнее основание по отрезку \(M_1N_1\), и отсечённая фигура — снова призма, с основанием \(AMN\) и той же высотой.

Шаг 2. Во сколько раз меньше основание

Средняя линия отсекает треугольник \(AMN\), подобный треугольнику \(ABC\) с коэффициентом \(k = \dfrac12\) (стороны \(AM\) и \(AN\) вдвое меньше, угол \(A\) общий). Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента:

\[S_{AMN} = \dfrac14 S_{ABC}.\]

Шаг 3. Объём

Высота у обеих призм одна и та же, значит объёмы относятся так же, как площади оснований:

\[V_{\text{отс}} = \dfrac14 V = \dfrac{48}{4} = 12.\]

Шаг 1. Что такое большой круг

Большой круг — это сечение шара плоскостью, проходящей через его центр. Радиус такого круга равен радиусу шара, поэтому его площадь

\[S_{\text{кр}} = \pi R^2 = 24.\]

Шаг 2. Площадь поверхности шара

\[S_{\text{шара}} = 4\pi R^2 = 4\cdot\pi R^2 = 4\cdot 24 = 96.\]

Обратите внимание: радиус находить не нужно — выражение \(\pi R^2\) уже известно целиком.

Шаг 1. Понимаем, что это за многогранник

Четыре точки, не лежащие в одной плоскости, задают треугольную пирамиду. Удобно взять её основанием треугольник \(ABC\), а вершиной — точку \(B_1\).

Шаг 2. Площадь основания

Треугольник \(ABC\) лежит в нижнем основании параллелепипеда. Угол \(B\) прямой, катеты — рёбра \(AB\) и \(BC\):

\[S_{ABC} = \dfrac12\cdot AB\cdot BC = \dfrac12\cdot 7\cdot 6 = 21.\]

Шаг 3. Высота

Ребро \(BB_1\) перпендикулярно плоскости основания, значит именно оно и есть высота пирамиды:

\[BB_1 = AA_1 = 5.\]

Шаг 4. Объём

\[V = \dfrac13\cdot S_{ABC}\cdot BB_1 = \dfrac13\cdot 21\cdot 5 = 35.\]

Шаг 1. Записываем оба объёма через одни и те же величины

Пусть \(S\) — площадь общего основания, \(h\) — общая высота. Тогда

\[V_{\text{цил}} = S h,\qquad V_{\text{кон}} = \dfrac13 S h.\]

Шаг 2. Сравниваем

Правые части отличаются только множителем \(\dfrac13\), поэтому конус втрое меньше цилиндра:

\[V_{\text{кон}} = \dfrac{V_{\text{цил}}}{3} = \dfrac{12}{3} = 4.\]