№2. Векторы

Шаг 1. Собираем площадь поверхности

Основания — два квадрата со стороной \(5\), боковая поверхность — четыре прямоугольника \(5\times h\):

\[S = 2\cdot 5^2 + 4\cdot 5h = 50 + 20h.\]

Шаг 2. Решаем уравнение

\[50 + 20h = 190,\qquad 20h = 140,\qquad h = 7.\]

Шаг 1. Что осталось от призмы

У призмы шесть вершин, в многограннике перечислены пять — нет вершины \(A\). Плоскость \(A_1BC\) отсекает от призмы пирамиду \(A_1ABC\), и остаётся как раз нужный многогранник:

\[V = V_{\text{призмы}} - V_{A_1ABC}.\]

Шаг 2. Объём призмы

\[V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}}\cdot AA_1 = 4\cdot 6 = 24.\]

Шаг 3. Объём отсечённой пирамиды

У пирамиды \(A_1ABC\) основание \(ABC\) — основание призмы, а высота — боковое ребро \(AA_1\), перпендикулярное ему:

\[V_{A_1ABC} = \dfrac13\cdot 4\cdot 6 = 8.\]

Шаг 4. Разность

\[V = 24 - 8 = 16.\]

Шаг 1. Две формулы

Большой круг — сечение шара плоскостью через его центр, его радиус совпадает с радиусом шара:

\[S_{\text{шара}} = 4\pi R^2,\qquad S_{\text{кр}} = \pi R^2.\]

Шаг 2. Сравниваем

Поверхность шара ровно вчетверо больше площади большого круга:

\[S_{\text{кр}} = \dfrac{S_{\text{шара}}}{4} = \dfrac{12}{4} = 3.\]

Шаг 1. У пирамид общая высота

Точки \(K\), \(M\), \(P\) лежат в плоскости \(ABC\), значит основание \(KMP\) лежит в той же плоскости, что и основание \(ABC\). Вершина у обеих пирамид одна и та же — точка \(S\). Поэтому высоты равны, и объёмы относятся как площади оснований.

Шаг 2. Площадь серединного треугольника

Стороны треугольника \(KMP\) — средние линии треугольника \(ABC\), каждая вдвое меньше соответствующей стороны. Значит треугольники подобны с коэффициентом \(k = \dfrac12\), и

\[S_{KMP} = \dfrac14 S_{ABC}.\]

Шаг 3. Объём

\[V_{SKMP} = \dfrac14 V_{SABC} = \dfrac{24}{4} = 6.\]

Шаг 1. Выражаем ребро

Поверхность куба состоит из шести равных квадратов:

\[6a^2 = 128,\qquad a^2 = \dfrac{128}{6} = \dfrac{64}{3}.\]

Шаг 2. Диагональ куба

\[d = a\sqrt3,\qquad d^2 = 3a^2 = 3\cdot\dfrac{64}{3} = 64.\]

\[d = 8.\]

Корень из \(a^2\) извлекать не понадобилось: в формуле для \(d^2\) тройка сократилась.

Шаг 1. Выбираем основание

Четыре точки задают треугольную пирамиду. Удобно взять основанием треугольник \(ABC\) — он лежит в нижней грани, — а вершиной точку \(D_1\).

Шаг 2. Площадь основания

Угол \(B\) прямой, \(AB = 3\), \(BC = AD = 3\):

\[S_{ABC} = \dfrac12\cdot 3\cdot 3 = 4{,}5.\]

Шаг 3. Высота

Высота — расстояние от \(D_1\) до плоскости нижнего основания. Точка \(D_1\) стоит ровно над \(D\), поэтому это длина ребра \(DD_1\):

\[DD_1 = AA_1 = 4.\]

Шаг 4. Объём

\[V = \dfrac13\cdot 4{,}5\cdot 4 = 6.\]