№2. Векторы

Шаг 1. Основание и высота

Это треугольная пирамида с основанием \(ABC\) и вершиной \(B_1\). Угол \(B\) прямой, катеты — рёбра \(AB = 7\) и \(BC = AD = 7\):

\[S_{ABC} = \dfrac12\cdot 7\cdot 7 = \dfrac{49}{2}.\]

Ребро \(BB_1\) перпендикулярно основанию, значит это высота:

\[BB_1 = AA_1 = 6.\]

Шаг 2. Объём

\[V = \dfrac13\cdot\dfrac{49}{2}\cdot 6 = 49.\]

Шаг 1. Апофема

Боковая грань \(SAB\) — равнобедренный треугольник со сторонами \(SA = SB = 25\) и основанием \(AB = 14\). Апофема \(SM\) — высота этой грани, она же медиана, поэтому

\[MB = \dfrac{14}{2} = 7.\]

Из прямоугольного треугольника \(SMB\):

\[SM = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24.\]

Шаг 2. Складываем шесть граней

Все шесть боковых граней равны:

\[S_{\text{бок}} = 6\cdot\dfrac12\cdot AB\cdot SM = 6\cdot\dfrac12\cdot 14\cdot 24 = 6\cdot 168 = 1008.\]

Шаг 1. Отсечённая фигура — тоже призма

Плоскость проходит через среднюю линию \(MN\) параллельно боковому ребру, поэтому она пересекает верхнее основание по отрезку \(M_1N_1\), и отсекается призма с основанием \(AMN\) и той же высотой.

Шаг 2. Площадь нового основания

Треугольник \(AMN\) подобен \(ABC\) с коэффициентом \(\dfrac12\), площади относятся как квадрат коэффициента:

\[S_{AMN} = \dfrac14 S_{ABC}.\]

Шаг 3. Объём

Высота та же, значит

\[V_{\text{отс}} = \dfrac{32}{4} = 8.\]

Шаг 1. Какой именно угол равен 130°

Осевое сечение — равнобедренный треугольник \(ABC\): \(AB\) — диаметр основания, \(CA\) и \(CB\) — образующие, \(CA = CB\). Углы при основании равны между собой. Если бы \(130^\circ\) был одним из них, то два таких угла дали бы уже \(260^\circ\) — больше суммы углов треугольника. Значит \(130^\circ\) — угол при вершине \(C\).

Шаг 2. Находим угол при основании

\[\angle A = \angle B = \dfrac{180^\circ - 130^\circ}{2} = 25^\circ.\]

Шаг 3. Это и есть искомый угол

Угол наклона образующей к плоскости основания — угол между образующей и её проекцией на эту плоскость, то есть радиусом. В сечении это как раз угол \(A\):

\[25^\circ.\]

Шаг 1. Что отсекли

\(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\). Отсечённая фигура — призма с основанием \(AMN\) и тем же боковым ребром.

Шаг 2. Периметры

Треугольник \(AMN\) подобен треугольнику \(ABC\) с коэффициентом \(\dfrac12\), поэтому его периметр вдвое меньше.

Шаг 3. Переходим к боковым поверхностям

Боковая поверхность прямой призмы равна периметру основания, умноженному на боковое ребро. Ребро общее, значит боковая поверхность отсечённой призмы вдвое меньше:

\[S_{\text{исх}} = 2\cdot 12 = 24.\]

Шаг 1. Узнаём фигуру

Внизу взяты три вершины \(A\), \(B\), \(C\), наверху — ровно те, что стоят над ними. Значит это прямая призма с основанием \(ABC\) и боковым ребром \(AA_1\).

Шаг 2. Площадь основания

Диагональ \(AC\) делит прямоугольник \(ABCD\) на два равных треугольника, поэтому

\[S_{ABC} = \dfrac12\cdot AB\cdot BC = \dfrac12\cdot 7\cdot 6 = 21.\]

Шаг 3. Объём

\[V = S_{ABC}\cdot AA_1 = 21\cdot 5 = 105.\]

Можно короче: призма занимает ровно половину параллелепипеда, а его объём \(7\cdot 6\cdot 5 = 210\).