№2. Векторы

Шаг 1. Треугольник B₁E₁E прямоугольный

Здесь угол задан прямо — он при вершине \(E\) в треугольнике \(B_1EE_1\). Ребро \(EE_1\) перпендикулярно плоскости верхнего основания, а отрезок \(E_1B_1\) лежит в этой плоскости, поэтому угол при вершине \(E_1\) прямой.

Шаг 2. Находим катеты

\[EE_1 = 31.\]

Точки \(B_1\) и \(E_1\) — противоположные вершины правильного шестиугольника, значит \(B_1E_1\) — большая диагональ, равная удвоенной стороне:

\[B_1E_1 = 2\cdot 31 = 62.\]

Шаг 3. Тангенс

\[\mathrm{tg}\,\angle B_1EE_1 = \dfrac{B_1E_1}{EE_1} = \dfrac{62}{31} = 2.\]

Шаг 1. Выбираем удобное основание

Три из четырёх точек — \(A_1\), \(B_1\), \(D_1\) — лежат в верхней грани. Возьмём треугольник \(A_1B_1D_1\) за основание, а точку \(D\) за вершину.

Шаг 2. Площадь основания

Угол при вершине \(A_1\) прямой, катеты — рёбра верхней грани:

\[A_1B_1 = AB = 2,\qquad A_1D_1 = AD = 9,\qquad
S_{A_1B_1D_1} = \dfrac12\cdot 2\cdot 9 = 9.\]

Шаг 3. Высота

Ребро \(DD_1\) перпендикулярно верхней грани, поэтому оно и есть высота:

\[DD_1 = AA_1 = 5.\]

Шаг 4. Объём

\[V = \dfrac13\cdot 9\cdot 5 = 15.\]

Шаг 1. Отношение рёбер

Пусть рёбра равны \(a\) и \(b\). Из условия

\[\dfrac{a^3}{b^3} = 8,\qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^3 = 8,\qquad \dfrac{a}{b} = 2.\]

Шаг 2. Отношение площадей

\[\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{6a^2}{6b^2} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^2 = 2^2 = 4.\]

Кубы подобны: объёмы относятся как куб коэффициента, а площади — как его квадрат.

Шаг 1. Что получается в сечении

Пусть ребро куба равно \(a\), а \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(AD\), выходящих из вершины \(A\). Плоскость проходит через \(MN\) параллельно третьему ребру \(AA_1\), поэтому отсекается призма с основанием \(AMN\) и боковым ребром, равным \(a\).

Шаг 2. Площадь основания

Треугольник \(AMN\) прямоугольный, его катеты — половинки рёбер:

\[S_{AMN} = \dfrac12\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{a}{2} = \dfrac{a^2}{8}.\]

Шаг 3. Объём

\[V = \dfrac{a^2}{8}\cdot a = \dfrac{a^3}{8} = \dfrac{80}{8} = 10.\]

Ребро куба искать не пришлось: \(a^3\) — это и есть объём куба.

Шаг 1. Записываем объём до и после

\[V = \dfrac13\pi r^2 h,\qquad
V_{\text{нов}} = \dfrac13\pi r^2\cdot\dfrac{h}{12}.\]

Шаг 2. Делим

\[\dfrac{V}{V_{\text{нов}}} = \dfrac{\tfrac13\pi r^2 h}{\tfrac13\pi r^2\tfrac{h}{12}} = 12.\]

Высота входит в формулу в первой степени, поэтому объём меняется во столько же раз, во сколько и она.

Шаг 1. Размеры цилиндра через радиус шара

Шар касается обоих оснований и боковой поверхности, поэтому радиус цилиндра равен \(R\), а высота равна диаметру: \(H = 2R\).

Шаг 2. Полная поверхность цилиндра

\[S_{\text{цил}} = 2\pi R^2 + 2\pi R\cdot 2R = 6\pi R^2 = 30,\qquad \pi R^2 = 5.\]

Шаг 3. Поверхность шара

\[S_{\text{шара}} = 4\pi R^2 = 4\cdot 5 = 20.\]

Заметьте: поверхность шара всегда составляет \(\dfrac23\) полной поверхности описанного около него цилиндра.