№2. Векторы

Шаг 1. Отсечённая фигура

Плоскость проходит через среднюю линию \(MN\) параллельно боковому ребру, поэтому отсекается призма с основанием \(AMN\) и той же высотой.

Шаг 2. Во сколько раз меньше основание

Треугольник \(AMN\) подобен \(ABC\) с коэффициентом \(\dfrac12\), значит его площадь в \(4\) раза меньше.

Шаг 3. Восстанавливаем объём

Высоты совпадают, поэтому и объём отсечённой призмы в \(4\) раза меньше объёма исходной:

\[V = 4\cdot 15 = 60.\]

Шаг 1. Что за многогранник

Четыре точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) образуют нижнее основание, пятая точка \(B_1\) лежит вне его плоскости. Значит это четырёхугольная пирамида с основанием \(ABCD\) и вершиной \(B_1\).

Шаг 2. Площадь основания

Основание — прямоугольник:

\[S_{ABCD} = AB\cdot BC = 9\cdot 3 = 27.\]

Шаг 3. Высота

Ребро \(BB_1\) перпендикулярно плоскости основания:

\[h = BB_1 = 8.\]

Шаг 4. Объём

\[V = \dfrac13\cdot 27\cdot 8 = 72.\]

Шаг 1. Подобие

Умножив все рёбра на \(8\), получаем подобный тетраэдр с коэффициентом \(k = 8\).

Шаг 2. Отношение площадей

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

\[\dfrac{S_{\text{нов}}}{S} = k^2 = 8^2 = 64.\]

То же видно и по формуле: поверхность правильного тетраэдра с ребром \(a\) равна \(a^2\sqrt3\), а при замене \(a\) на \(8a\) множитель \(a^2\) растёт в \(64\) раза.

Шаг 1. Два объёма

\[V = \dfrac13\pi r^2 h,\qquad V_{\text{нов}} = \dfrac13\pi r^2\cdot\dfrac{h}{9}.\]

Шаг 2. Отношение

\[\dfrac{V}{V_{\text{нов}}} = 9.\]

Радиус не изменился, а высота входит в формулу в первой степени, поэтому объём уменьшится ровно в \(9\) раз.

Шаг 1. Что отсекается

\(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\). Отсечённая фигура — призма с основанием \(AMN\) и тем же боковым ребром.

Шаг 2. Периметр вдвое меньше

Треугольник \(AMN\) подобен \(ABC\) с коэффициентом \(\dfrac12\), значит

\[P_{AMN} = \dfrac12 P_{ABC}.\]

Шаг 3. Боковая поверхность

Она равна периметру основания на боковое ребро, а ребро общее:

\[S_{\text{отс}} = \dfrac{100}{2} = 50.\]

Шаг 1. Узнаём фигуру

Внизу взяты все четыре вершины \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), а наверху только две — \(A_1\) и \(B_1\). Получается клин: треугольники \(ADA_1\) и \(BCB_1\) — его основания, а ребро \(AB\) соединяет их. Это треугольная призма, лежащая на боку.

Шаг 2. Площадь основания

Угол \(DAA_1\) прямой:

\[S_{ADA_1} = \dfrac12\cdot AD\cdot AA_1 = \dfrac12\cdot BC\cdot AA_1 = \dfrac12\cdot 4\cdot 3 = 6.\]

Шаг 3. Объём

Ребро \(AB\) перпендикулярно плоскости \(ADD_1A_1\), значит это высота призмы:

\[V = 6\cdot 5 = 30.\]

Проверка: объём всего параллелепипеда \(5\cdot 4\cdot 3 = 60\), и клин занимает ровно половину.