№1. Планиметрия

Шаг 1. Отрезок BE разбивает параллелограмм

Отрезок \(BE\) делит параллелограмм на треугольник \(ABE\) и трапецию \(BCDE\). Значит

\[S_{BCDE} = S_{ABCD} - S_{ABE}.\]

Шаг 2. Площадь отсечённого треугольника

Пусть \(h\) — расстояние от вершины \(B\) до прямой \(AD\). Тогда \(S_{ABCD} = AD\cdot h\). У треугольника \(ABE\) основание \(AE = \dfrac{AD}{2}\) лежит на той же прямой, а высота та же самая:

\[S_{ABE} = \dfrac12\cdot\dfrac{AD}{2}\cdot h = \dfrac14\,(AD\cdot h) = \dfrac{189}{4} = 47{,}25.\]

Шаг 3. Вычитаем

\[S_{BCDE} = 189 - 47{,}25 = 141{,}75.\]

Шаг 1. Теорема синусов

Вписанный угол \(ACB\) опирается на хорду \(AB\). Окружность является описанной около треугольника \(ABC\), а сторона \(AB\) лежит против угла \(C\). По теореме синусов

\[\dfrac{AB}{\sin C} = 2R.\]

Шаг 2. Подставляем

\[AB = 2R\sin C = 2\cdot 24\cdot \sin 30^\circ = 48\cdot\dfrac12 = 24.\]

Шаг 1. Где находится точка пересечения диагоналей

Диагонали квадрата пересекаются в его центре \(O\) — точке, равноудалённой от всех сторон. Опустим из \(O\) перпендикуляр \(OH\) на сторону \(AB\). Этот перпендикуляр равен половине стороны квадрата: он идёт от центра до середины стороны.

Обозначим сторону квадрата через \(a\), тогда

\[OH = \dfrac{a}{2} = \sqrt3,\qquad a = 2\sqrt3.\]

Шаг 2. Площадь

\[S = a^2 = \left(2\sqrt3\right)^2 = 4\cdot 3 = 12.\]

Шаг 1. Внутренний угол при вершине

Внешний угол при вершине \(B\) смежен с внутренним углом \(ABC\), поэтому

\[\angle ABC = 180^\circ - 18^\circ = 162^\circ.\]

Шаг 2. Углы при основании

Основание треугольника — \(AC\), значит боковые стороны \(AB\) и \(BC\) равны, а углы при основании равны между собой. На них приходится

\[180^\circ - 162^\circ = 18^\circ,\]

и каждый из них равен

\[\angle ACB = \dfrac{18^\circ}{2} = 9^\circ.\]

Шаг 1. Записываем связь углов

Обозначим вписанный угол через \(\alpha\). Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше вписанного, то есть равен \(2\alpha\).

Шаг 2. Переводим условие в уравнение

По условию центральный угол на \(32^\circ\) больше вписанного:

\[2\alpha = \alpha + 32^\circ.\]

Шаг 3. Решаем

\[\alpha = 32^\circ.\]

Спрашивают именно вписанный угол, поэтому в ответ идёт \(32\), а не центральный угол \(64^\circ\).

Шаг 1. Записываем два условия

Обозначим стороны прямоугольника через \(a\) и \(b\). Периметр даёт

\[2(a + b) = 14,\qquad a + b = 7.\]

Диагональ прямоугольника вместе с двумя сторонами образует прямоугольный треугольник, поэтому по теореме Пифагора

\[a^2 + b^2 = 6^2 = 36.\]

Шаг 2. Связываем сумму и произведение

Возведём первое равенство в квадрат:

\[(a + b)^2 = 49,\qquad a^2 + 2ab + b^2 = 49.\]

Подставим сюда \(a^2 + b^2 = 36\):

\[36 + 2ab = 49,\qquad 2ab = 13,\qquad ab = 6{,}5.\]

Шаг 3. Читаем ответ

Площадь прямоугольника равна произведению сторон, то есть как раз \(ab\):

\[S = ab = 6{,}5.\]