№1. Планиметрия

Шаг 1. Площадь через диагонали

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому его площадь равна половине их произведения:

\[S = \dfrac{d_1 d_2}{2}.\]

Шаг 2. Выражаем вторую диагональ

\[30 = \dfrac{6\cdot d_2}{2} = 3d_2,\qquad d_2 = 10.\]

Шаг 1. Второй острый угол

Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают \(90^\circ\):

\[\angle A = 90^\circ - 21^\circ = 69^\circ.\]

Шаг 2. Угол, который даёт медиана

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, поэтому \(CM = AM\) и треугольник \(ACM\) равнобедренный. Углы при его основании \(AC\) равны:

\[\angle ACM = \angle A = 69^\circ.\]

Шаг 3. Угол, который даёт биссектриса

Биссектриса делит прямой угол \(C\) пополам:

\[\angle ACD = \dfrac{90^\circ}{2} = 45^\circ.\]

Шаг 4. Разность

Оба луча отложены от стороны \(CA\), поэтому искомый угол равен разности:

\[\angle DCM = 69^\circ - 45^\circ = 24^\circ.\]

Шаг 1. Выбираем формулу

Даны две стороны и угол между ними, поэтому удобна формула

\[S = \dfrac12\,AC\cdot BC\cdot \sin C.\]

Шаг 2. Считаем синус тупого угла

\[\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 150^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac12.\]

Шаг 3. Подставляем

\[S = \dfrac12\cdot 40\cdot 40\cdot\dfrac12 = \dfrac{1600}{4} = 400.\]

Шаг 1. Диагональ делит угол B

Диагональ \(BD\) проходит внутри угла \(ABC\), поэтому

\[\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC,\qquad\text{то есть}\qquad \angle ABD = \angle ABC - \angle DBC.\]

Шаг 2. Находим угол DBC

Углы \(CAD\) и \(CBD\) — вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(CD\), значит они равны:

\[\angle DBC = \angle CAD = 44^\circ.\]

Шаг 3. Вычитаем

\[\angle ABD = 98^\circ - 44^\circ = 54^\circ.\]

Шаг 1. Разбиваем параллелограмм отрезком BE

Отрезок \(BE\) делит параллелограмм на треугольник \(ABE\) и трапецию \(BCDE\):

\[S_{BCDE} = S_{ABCD} - S_{ABE}.\]

Шаг 2. Треугольник ABE — четверть параллелограмма

Пусть \(h\) — расстояние от \(B\) до прямой \(AD\), тогда \(S_{ABCD} = AD\cdot h\). У треугольника \(ABE\) основание вдвое меньше, а высота та же:

\[S_{ABE} = \dfrac12\cdot\dfrac{AD}{2}\cdot h = \dfrac{S_{ABCD}}{4} = \dfrac{70}{4} = 17{,}5.\]

Шаг 3. Вычитаем

\[S_{BCDE} = 70 - 17{,}5 = 52{,}5.\]

Шаг 1. Какие два угла могли дать такую сумму

В параллелограмме соседние углы в сумме дают \(180^\circ\), а противоположные равны. Сумма \(46^\circ\) меньше \(180^\circ\), значит это не соседние углы — речь идёт о паре противоположных, которые равны между собой. Каждый из них равен

\[\dfrac{46^\circ}{2} = 23^\circ.\]

Шаг 2. Оставшиеся углы

Оставшиеся два угла соседние с найденными, поэтому каждый из них равен

\[180^\circ - 23^\circ = 157^\circ.\]