№1. Планиметрия

Шаг 1. Площадь через меньшую сторону

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Для меньшей стороны \(18\) и высоты \(10\):

\[S = 18\cdot 10 = 180.\]

Шаг 2. Та же площадь через большую сторону

\[S = 20\cdot h,\qquad 20h = 180,\qquad h = 9.\]

Шаг 1. Переходим к центральному углу AOB

Отрезок \(BD\) — диаметр, поэтому точки \(B\), \(O\), \(D\) лежат на одной прямой, а углы \(AOD\) и \(AOB\) смежные:

\[\angle AOB = 180^\circ - 16^\circ = 164^\circ.\]

Шаг 2. Вписанный угол вдвое меньше центрального

Угол \(ACB\) — вписанный, он опирается на дугу \(AB\); центральный угол \(AOB\) опирается на ту же дугу. Значит

\[\angle ACB = \dfrac{\angle AOB}{2} = \dfrac{164^\circ}{2} = 82^\circ.\]

Шаг 1. Что отсекает отрезок AF

Отрезок \(AF\) делит параллелограмм на треугольник \(ABF\) и трапецию \(AFCD\), поэтому

\[S_{AFCD} = S_{ABCD} - S_{ABF}.\]

Шаг 2. Площадь треугольника ABF

Пусть \(h\) — расстояние от вершины \(A\) до прямой \(BC\). Тогда \(S_{ABCD} = BC\cdot h\). Основание треугольника \(ABF\) равно \(BF = \dfrac{BC}{2}\), а высота из вершины \(A\) та же самая:

\[S_{ABF} = \dfrac12\cdot\dfrac{BC}{2}\cdot h = \dfrac{S_{ABCD}}{4} = \dfrac{20}{4} = 5.\]

Шаг 3. Вычитаем

\[S_{AFCD} = 20 - 5 = 15.\]

Шаг 1. Определяем основание

Равны стороны \(AC\) и \(BC\), значит они боковые, а основание — сторона \(AB\). Углы при основании равны:

\[\angle B = \angle A = 17^\circ.\]

Шаг 2. Сумма углов треугольника

\[\angle C = 180^\circ - 17^\circ - 17^\circ = 146^\circ.\]

Шаг 1. Формула через угол между сторонами

Угол \(C\) заключён между боковыми сторонами \(AC\) и \(BC\), поэтому

\[S = \dfrac12\,AC\cdot BC\cdot \sin C.\]

Шаг 2. Подставляем

\[S = \dfrac12\cdot 14\cdot 14\cdot \sin 30^\circ = \dfrac12\cdot 196\cdot\dfrac12 = 49.\]

Шаг 1. Радиус перпендикулярен касательной

Прямая \(CA\) касается окружности в точке \(A\), а радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

\[\angle OAC = 90^\circ.\]

Шаг 2. Находим угол при центре

В треугольнике \(OAC\) угол при вершине \(A\) прямой, поэтому два острых угла дают в сумме \(90^\circ\):

\[\angle AOC = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ.\]

Шаг 3. От центрального угла к дуге

Точка \(B\) лежит на отрезке \(CO\), значит \(\angle AOB\) — это тот же угол \(AOC\). Он центральный, поэтому дуга \(AB\) равна ему:

\[\smile AB = 33^\circ.\]