№1. Планиметрия

Шаг 1. Отрезок BE отсекает треугольник

\[S_{BCDE} = S_{ABCD} - S_{ABE}.\]

Шаг 2. Треугольник ABE — четверть параллелограмма

Пусть \(h\) — расстояние от \(B\) до прямой \(AD\), тогда \(S_{ABCD} = AD\cdot h\). У треугольника \(ABE\) основание \(AE = \dfrac{AD}{2}\), высота та же:

\[S_{ABE} = \dfrac12\cdot\dfrac{AD}{2}\cdot h = \dfrac{28}{4} = 7.\]

Шаг 3. Вычитаем

\[S_{BCDE} = 28 - 7 = 21.\]

Шаг 1. Находим подобие

\(D\) и \(E\) — середины сторон \(CA\) и \(CB\), поэтому

\[\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{CE}{CB} = \dfrac12,\]

а угол при вершине \(C\) у треугольников \(CDE\) и \(CAB\) общий. Значит треугольники подобны с коэффициентом \(k = \dfrac12\).

Шаг 2. Отношение площадей

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

\[S_{CDE} = S_{ABC}\cdot k^2 = 24\cdot\dfrac14 = 6.\]

Шаг 1. Средняя линия отсекает подобный треугольник

Точки \(D\) и \(E\) — середины сторон \(CA\) и \(CB\), а \(DE \parallel AB\). У треугольников \(CDE\) и \(CAB\) угол при вершине \(C\) общий, а стороны, его образующие, вдвое меньше, поэтому треугольники подобны с коэффициентом \(k = \dfrac12\).

Шаг 2. Площадь отсечённого треугольника

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

\[S_{CDE} = \dfrac{S_{ABC}}{4} = \dfrac{24}{4} = 6.\]

Шаг 3. Трапеция — остаток

\[S_{ABED} = S_{ABC} - S_{CDE} = 24 - 6 = 18.\]

Шаг 1. От дуги к центральному углу

Угол \(AOB\) — центральный, он опирается на дугу \(AB\), поэтому равен её градусной мере:

\[\angle AOB = 17^\circ.\]

Точка \(B\) лежит на отрезке \(CO\), значит это тот же угол \(AOC\).

Шаг 2. Радиус перпендикулярен касательной

Прямая \(CA\) касается окружности в точке \(A\), поэтому \(OA \perp CA\) и \(\angle OAC = 90^\circ\).

Шаг 3. Острые углы прямоугольного треугольника

В треугольнике \(OAC\) острые углы дают в сумме \(90^\circ\):

\[\angle ACO = 90^\circ - 17^\circ = 73^\circ.\]

Шаг 1. Считаем площадь

Меньшая сторона равна \(24\), проведённая к ней высота равна \(18\):

\[S = 24\cdot 18 = 432.\]

Шаг 2. Та же площадь через большую сторону

\[27h = 432,\qquad h = \dfrac{432}{27} = 16.\]

Шаг 1. Второй острый угол

\[\angle A = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ.\]

Шаг 2. Угол, который даёт медиана

Медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, поэтому \(CM = AM\), треугольник \(ACM\) равнобедренный, и

\[\angle ACM = \angle A = 24^\circ.\]

Шаг 3. Угол, который даёт высота

В прямоугольном треугольнике \(ACH\) угол при вершине \(H\) прямой, поэтому

\[\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ.\]

Шаг 4. Разность

Оба луча отложены от стороны \(CA\), значит

\[\angle HCM = 66^\circ - 24^\circ = 42^\circ.\]