№1. Планиметрия

Шаг 1. Находим гипотенузу

Обозначим катет через \(a = 30 + 15\sqrt2\). В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета в \(\sqrt2\) раз:

\[AB = a\sqrt2.\]

Шаг 2. Формула радиуса для прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника с катетами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(c\)

\[r = \dfrac{a + b - c}{2}.\]

Здесь оба катета равны \(a\), а гипотенуза равна \(a\sqrt2\), поэтому

\[r = \dfrac{a + a - a\sqrt2}{2} = \dfrac{a\,(2 - \sqrt2)}{2}.\]

Шаг 3. Подставляем и упрощаем

Вынесем общий множитель: \(a = 30 + 15\sqrt2 = 15\,(2 + \sqrt2)\). Тогда

\[r = \dfrac{15\,(2 + \sqrt2)(2 - \sqrt2)}{2} = \dfrac{15\,(4 - 2)}{2} = \dfrac{15\cdot 2}{2} = 15.\]

Шаг 1. Углы при основании

Стороны \(AC\) и \(BC\) равны, значит треугольник равнобедренный с основанием \(AB\), и углы при основании равны. Их сумма составляет

\[180^\circ - \angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ,\]

поэтому каждый из них равен

\[\angle A = \angle ABC = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ.\]

Шаг 2. Внешний угол как смежный

Угол \(CBD\) смежный с внутренним углом \(ABC\):

\[\angle CBD = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ.\]

Шаг 1. Радиус в точку касания

Прямая \(CA\) касается окружности в точке \(A\), а радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

\[OA \perp CA,\qquad\text{то есть}\qquad \angle OAC = 90^\circ.\]

Шаг 2. Переводим дугу в угол

Угол \(AOB\) — центральный, он опирается на дугу \(AB\), поэтому равен её градусной мере:

\[\angle AOB = 66^\circ.\]

Точка \(B\) лежит на отрезке \(CO\), значит угол \(AOC\) — это тот же самый угол: \(\angle AOC = 66^\circ\).

Шаг 3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника

В треугольнике \(OAC\) угол при вершине \(A\) прямой, поэтому два других угла в сумме дают \(90^\circ\):

\[\angle ACO = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ.\]

Шаг 1. Находим подобие

\(DE\) — средняя линия, значит \(D\) и \(E\) — середины сторон \(CA\) и \(CB\), а сама средняя линия параллельна стороне \(AB\). У треугольников \(CDE\) и \(CAB\) угол при вершине \(C\) общий, а стороны, его образующие, пропорциональны:

\[\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{CE}{CB} = \dfrac12.\]

Значит треугольники подобны с коэффициентом \(k = \dfrac12\).

Шаг 2. Площади подобных фигур

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

\[\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2 = \dfrac14,\qquad S_{CDE} = \dfrac{72}{4} = 18.\]

Шаг 1. Определяем, какой катет нам нужен

Угол \(C\) прямой, поэтому \(AB\) — гипотенуза. Катет \(BC\) противолежит углу \(A\): он не выходит из вершины \(A\). Для противолежащего катета работает синус:

\[\sin A = \dfrac{BC}{AB}.\]

Шаг 2. Выражаем и считаем

\[BC = AB\cdot\sin A = 8\cdot 0{,}75 = 6.\]

Шаг 1. Свойство описанного четырёхугольника

Трапеция описана около окружности, то есть окружность вписана в неё и касается всех четырёх сторон. У такого четырёхугольника суммы противоположных сторон равны. Для трапеции противоположными парами являются основания и боковые стороны, поэтому

\[AB + CD = AD + BC = 12 + 14 = 26.\]

Шаг 2. Средняя линия

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\[m = \dfrac{AB + CD}{2} = \dfrac{26}{2} = 13.\]