№18. Планиметрическая задача

В треугольнике \(ABC\) точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) — середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно, \(AH\) — высота, \(\angle BAC = 60^\circ\), \(\angle BCA = 45^\circ\).

а) Докажите, что точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(H\) лежат на одной окружности.

б) Найдите \(A_1H\), если \(BC = 2\sqrt{3}\).

Окружность проходит через вершины \(A\), \(B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\), пересекает сторону \(BC\) в точках \(B\) и \(E\) и пересекает сторону \(CD\) в точках \(K\) и \(D\).

а) Докажите, что \(AE = AK\).

б) Найдите \(AD\), если \(CE = 10\), \(DK = 9\) и \(\cos \angle BAD = 0,2\).

Окружность проходит через вершины \(A\), \(B\) и \(C\) параллелограмма \(ABCD\), пересекает продолжение стороны \(AD\) за точку \(D\) в точке \(E\) и пересекает продолжение стороны \(CD\) за точку \(D\) в точке \(K\).

а) Докажите, что \(BK = BE\).

б) Найдите отношение \(KE : AC\), если \(\angle BAD = 30^\circ\).

Сумма оснований трапеции равна \(10\), а её диагонали равны \(6\) и \(8\).

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Биссектрисы углов \(BAD\) и \(BCD\) равнобедренной трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). На боковых сторонах \(AB\) и \(CD\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно так, что \(AM = MO\), \(CN = NO\).

а) Докажите, что точки \(M\), \(O\) и \(N\) лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение \(AM : MB\), если \(AO = OC\) и \(BC : AD = 17 : 31\).

В трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в два раза больше основания \(BC\). Внутри трапеции взяли точку \(M\) так, что углы \(ABM\) и \(DCM\) прямые.

а) Докажите, что \(AM = DM\).

б) Найдите угол \(BAD\), если угол \(ADC\) равен \(70^\circ\), а расстояние от точки \(M\) до прямой \(AD\) равно стороне \(BC\).