№18. Планиметрическая задача

Диагонали равнобедренной трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) перпендикулярны. Окружность с диаметром \(AD\) пересекает боковую сторону \(CD\) в точке \(M\), а окружность с диаметром \(CD\) пересекает основание \(AD\) в точке \(N\). Отрезки \(AM\) и \(CN\) пересекаются в точке \(P\).

а) Докажите, что в четырёхугольник \(ABCP\) можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если \(BC = 7\), \(AD = 23\).

Высоты \(BB_1\) и \(CC_1\) остроугольного треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\).

а) Докажите, что \(\angle BB_1C_1 = \angle BAH\).

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника \(ABC\), до стороны \(BC\), если \(B_1C_1 = 18\) и \(\angle BAC = 30^\circ\).

Пятиугольник \(ABCDE\) вписан в окружность. Известно, что \(AB = CD = 3\), \(BC = DE = 4\).

а) Докажите, что \(AC = CE\).

б) Найдите длину диагонали \(BE\), если \(AD = 6\).

Окружность с центром в точке \(O\) высекает на всех сторонах трапеции \(ABCD\) равные хорды.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону \(AB\) в точках \(K\) и \(L\) так, что \(AK = 15\), \(KL = 6\), \(LB = 5\).

Точки \(P\), \(Q\), \(W\) делят стороны выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) в отношении \(AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 1 : 4\), радиус окружности, описанной около треугольника \(PQW\), равен \(10\), \(PQ = 16\), \(QW = 12\), угол \(PWQ\) — острый.

а) Докажите, что треугольник \(PQW\) — прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD\).

В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(120^\circ\). Прямые, содержащие высоты \(BM\) и \(CN\) треугольника \(ABC\), пересекаются в точке \(H\). Точка \(O\) — центр окружности, описанной около треугольника \(ABC\).

а) Докажите, что \(AH = AO\).

б) Найдите площадь треугольника \(AHO\), если \(BC = \sqrt{15}\), \(\angle ABC = 45^\circ\).