Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
С понятиями «последовательность» и «арифметическая прогрессия» мы уже познакомились в соответствующей статье. Теперь рассмотрим геометрическую прогрессию.
Геометрическая прогрессия — это последовательность, первый член которой не равен нулю, а каждый последующий член равен произведению предыдущего члена на некоторое фиксированное ненулевое число, называемое знаменателем геометрической прогрессии. Иначе говоря, новый член геометрической прогрессии образуется путём умножения предыдущего члена на знаменатель прогрессии.
К примеру, последовательность \(2; 6; 18; 54...\) является геометрической прогрессией с первым членом \(b_1=2\) и знаменателем \(q=3\). И действительно, каждый новый член получается как произведение предыдущего члена и знаменателя. Тогда верна формула: \(b_{n+1}=b_n\cdot q\). Как мы уже говорили ранее, можно использовать любые буквы, но для геометрической прогрессии принято использовать \(b\).
Знаменатель геометрической прогрессии можно получить как частное двух соседних членов. Член с большим индексом надо разделить на член с меньшим: \(q=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\). И, аналогично разности арифметической прогрессии, знаменатель геометрической прогрессии - тоже постоянная величина.
Как влияет знаменатель на саму прогрессию? Если \(q>0\), то все члены геометрической прогрессии имеют тот же знак, что и первый член. К примеру, если \(b_1=3\) и \(q=2\), то прогрессия будет иметь вид: \(3; 6; 12; 24...\) Если \(q<0\), то знаки членов геометрической прогрессии чередуются. Например, если \(b_1=2\) и \(q=-3\), то прогрессия принимает вид: \(2; -6; 18; -54...\) То есть знак у числа будет чередоваться с каждый новым членом.
Очевидно, что \(q\neq0\), ведь тогда все члены, кроме первого, станут нулями, и это не будет являться геометрической прогрессией.
И также существует бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Если \(-1<q<1\), то такая прогрессия будет постоянно стремиться к нулю, то есть бесконечно убывать. К примеру, если \(b_1=400\) и \(q=\dfrac{1}{2}\), то прогрессия будет такая: \(400; 200; 100; 50...\) Она будет стремиться к нулю, но никогда не будет члена, равного нулю.
Подытожим:
- если \(q>1\), то каждый новый член больше предыдущего, и все знаки такие же, как и у первого (пример: \(2; 4; 8; 16...\) при \(b_1=2\) и \(q=2\))
- если \(q<-1\), то каждый новый член (по модулю) больше предыдущего, но знаки чередуются (пример: \(2; -4; 8; -16...\) при \(b_1=2\) и \(q=-2\))
- если \(0<q<1\), то каждый новый член меньше предыдущего, они стремятся к нулю, и все знаки такие же, как и у первого (пример: \(2; 1; \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{4}\)... при \(b_1=2\) и \(q=\dfrac{1}{2}\))
- если \(-1<q<0\), то каждый новый член (по модулю) меньше предыдущего, они стремятся к нулю, но знаки чередуются (пример: \(2; -1; \dfrac{1}{2}; -\dfrac{1}{4}...\) при \(b_1=2\) и \(q=-\dfrac{1}{2}\))
- если \(q=\pm1\) или \(q=0\), то такая последовательность не является геометрической прогрессией
Если у нас есть первый член прогрессии \(b_1\), то второй мы можем получить как \(b_2=b_1\cdot q\). Третий будет \(b_3=b_2\cdot q=b_1\cdot q\cdot q=b_1\cdot q^2\). И дальше \(b_4=b_3\cdot q=b_1\cdot q^2 \cdot q=b_1\cdot q^3\). Таким образом, мы можем выразить любой член прогрессии через первый по формуле \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\). То есть первый член нужно умножить на знаменатель прогрессии \(n-1\) раз, то есть умножить на \(q^{n-1}\), чтобы получить \(n\)-ый член.
Ещё важным свойством геометрической прогрессии является то, что любой член прогрессии (начиная со второго) является средним геометрическим двух соседних. То есть верна формула: \(b_n=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}\). Доказательством является подстановка \(b_{n-1}=\dfrac{b_n}{q}\) и \(b_{n+1}=b_n\cdot q\) в формулу. Эту же формулу можно переписать так: \(b_{n-1}\cdot b_{n+1}={b_n}^2\). В общем виде формулу можно записать так: \(b_n=\sqrt{b_{n-k}\cdot b_{n+k}}\) или \({b_n}^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\) для любого \(n\geqslant2\) и \(k<n\).
Так как \(q\) - постоянная величина, то для геометрической прогрессии справедлива запись: \(\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{b_n}{b_{n-1}}\).
У любой геометрической прогрессии мы можем найти сумму её членов. Для этого есть формула: \(S_n=b_1\dfrac{q^n-1}{q-1}\). То есть если прогрессия состоит из \(b_1; b_2; b_3; ... ; b_n\), то, по данной формуле мы можем найти сумму \(b_1+b_2+b_3+ ... +b_n\).
Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем \(|q|<1\)) и найдём сумму всех её членов. Так как знаменатель по модулю меньше единицы, то, возводя его в большие степени, он будет стремиться к нулю. Наглядно видно на примере: \(q=\dfrac{1}{2}, q^2=\dfrac{1}{4}, q^3=\dfrac{1}{8}, q^4=\dfrac{1}{16}\) и так далее. Получается, что выражение \(q^n\) стремится к нулю при \(-1<q<1\). А тогда выражение \(q^n-1\), стоящее в числителе формулы, стремится к \(-1\). Ну и тогда вся сумма стремится к \(b_1\dfrac{-1}{q-1}=b_1\dfrac{1}{1-q}=\dfrac{b_1}{1-q}\).
Тогда для бесконечно убывающей геометрической прогрессии с бесконечным числом членов формула для суммы всех её членов принимает такой вид: \(S_n=\dfrac{b_1}{1-q}\).
Записаться на пробный урок ЕГЭ по профильной математике https://marseltutor.ru/
Наглядно рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию \(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{8}; \dfrac{1}{16}...\). Возьмём квадрат площадью 1, разделим его пополам и получим прямоугольник площадью \(\dfrac{1}{2}\). Второй такой же прямоугольник тоже поделим пополам, тем самым получим из него два прямоугольника площадями по \(\dfrac{1}{4}\). Один из них вновь поделим пополам и будем продолжать так до бесконечности. И если суммировать площади всех получившихся прямоугольников \(\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+...\right)\), то мы получим площадь исходного квадрата, то есть единицу. Таким образом, при \(b_1=\dfrac{1}{2}\) и \(q=\dfrac{1}{2}\) действительно \(S_n=\dfrac{b_1}{1-q}=1\).
А теперь разберём несколько задач, где пригодятся формулы геометрической прогрессии.
Задача 1. Дана геометрическая прогрессия \(b_1, b_2, b_3, ... b_n\). Известно, что \(b_1=\dfrac{2}{3}\) и \(q=-3\). Найдите \(b_6\).
Тренировочная задача на формулу \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\), подставляя в которую известные значения получаем: \(b_6=\dfrac{2}{3}\cdot(-3)^5=-2\cdot3^4=-162\).
Задача 2. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \(12; 4; \dfrac{4}{3}...\)
Вначале найдём знаменатель данной прогрессии как частное двух соседних членов (обязательно делим следующий на предыдущий, а не наоборот). То есть \(q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\) или \(q=\dfrac{b_3}{b_2}=\dfrac{\frac{4}{3}}{4}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}\).
Так как прогрессия бесконечно убывающая (\(|q|<1\)), то её сумма находится по формуле \(S_n=\dfrac{b_1}{1-q}=\) \(\dfrac{12}{1-\frac{1}{3}}=\) \(\dfrac{12}{\frac{2}{3}}=\) \(12\cdot\dfrac{3}{2}=18\).
Задача 3. Задана геометрическая прогрессия: \(2; 6; 18...\) Найти сумму её первых двенадцати членов.
Начнём со знаменателя прогрессии: \(q=\dfrac{6}{2}=3\). Прогрессия не убывающая, а значит \(S_{12}=b_1\dfrac{q^{12}-1}{q-1}=\) \(2\dfrac{3^{12}-1}{2}=\) \(3^{12}-1=531440\).
Задача 4. Запишите число \(0,(7)\) в виде обыкновенной дроби.
Здесь нам поможет геометрическая прогрессия. Вначале распишем период: 0,(7)=0,777... А теперь разложим получившееся число так: 0,777...=0,7+0,07+0,007+... Слагаемые 0,7; 0,07; 0,007; ... - члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем \(q=0,1\). Тогда сумма всех членов этой прогрессии \(S_n=\dfrac{b_1}{1-q}=\dfrac{0,7}{0,9}=\dfrac{7}{9}\). А это сумма (0,7+0,07+0,007+...) как раз и является числом 0,777..=0,(7). То есть \(0,(7)=\dfrac{7}{9}\).
Задач 5. Между числами 16 и 81 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.
Всего в прогрессии будет 5 членов, значит: \(b_1=16\) и \(b_5=b_1\cdot q^4=81\). Разделим второе уравнение на первое и получим: \(q^4=\dfrac{81}{16} \Leftrightarrow q=\pm\dfrac{3}{2}\). Тогда прогрессия будет иметь такой вид: \(16; 24; 36; 54; 81\) или такой: \(16; -24; 36; -54; 81\).
Задача 6. Три числа, из которых третье равно 12, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то получится арифметическая прогрессия. Найти эти числа.
Мы знаем, что искомые числа образуют геометрическую прогрессию, значит можем записать их как \(b, bq, bq^2\). Также третье из них равно 12 (\(bq^2=12\)), то есть имеем ряд чисел: \(b, bq, 12\). Далее известно, что если вместо 12 взять 9, то получится арифметическая прогрессия. Тогда ряд \(b, bq, 9\) будет являться арифметической прогрессией, то есть будет выполняться следующее условие: \(bq-b=9-bq\), так как разность прогрессии постоянна. Тогда имеем систему:
\(\left\{
\begin{gathered}
bq^2=12 \hfill\\
2bq-b=9 \hfill
\end{gathered}
\right.\)
Решим её методом деления одного уравнения на другое (подробнее про способы решения систем уравнений читайте здесь) и получим \(b=27; q=\dfrac{2}{3}\) или \(b=3; q=2\). Оба варианта имеют место быть, поэтому получаем две последовательности: \(27; 18; 12\) и \(3; 6; 12\).
Задача 7. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии на \(\dfrac{3}{2}\) больше, чем сумма первых трёх членов, а пятый член равен учетверённому третьему. Найти четвёртый член прогрессии, если знаменатель положителен.
Пусть прогрессия имеет члены: \(b, bq, bq^2, bq^3, bq^4\). Согласно условию: \(bq^4=4bq^2 \Leftrightarrow q^2=4 \Leftrightarrow q=\pm2\). Но так как сказано, что знаменатель положителен, то \(q=2\). Также можем найти \(S_5=b+bq+bq^2+bq^3+bq^4\) и \(S_3=b+bq+bq^2\). По условию задачи \(S_5-S_3=\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow bq^3+bq^4=\dfrac{3}{2}\). Подставляя найденное значение \(q=2\) получаем \(8b+16b=\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow 24b=\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow b=\dfrac{1}{16}\). И тогда \(bq^3=\dfrac{1}{16}\cdot8=\dfrac{1}{2}\).
Задачи для самопроверки
Задача 1. Найдите сумму бесконечно убывающей прогрессии: \(9; -3; 1...\)
Задача 2. Известно, что в геометрической прогрессии первый и третий члены — целые числа. Значит ли это, что второй член этой прогрессии — рациональное число?
Задача 3. Между числами 27 и 8 вставьте два числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.
Задача 4. Представьте в виде обыкновенной дроби: а) \(0,(24)\); б) \(1,2(3)\).
Задача 5. Дана геометрическая прогрессия длины 3 с натуральным первым членом и натуральным знаменателем, большим единицы. Приведите пример такой последовательности, произведение всех трех членов которой равно 9261.
Задача 6. Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем \(|q|<1\), сумма которой равна 1,6, а второй член равен −0,5.
Задача 7. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой сумма крайних членов равна −49, а сумма средних членов равна 14.
Задача 8. Произведение первого, третьего и одиннадцатого членов геометрической прогрессии равно 8. Найти произведение второго и восьмого её членов.
Задача 9. Знаменатель конечной геометрической прогрессии равен \(\dfrac{1}{3}\), четвёртый член этой прогрессии равен \(\dfrac{1}{54}\), а сумма всех её членов равна \(\dfrac{121}{162}\). Найти число членов прогрессии.
Задача 10. Произведение первых трёх членов геометрической прогрессии равно 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Ответы
1. 13,5
2. Нет. Контрпример: \(1; \sqrt{2}; 2; 2\sqrt{2}\)...
3. 27; 18; 12; 8
4. а) \(\dfrac{8}{33}\); б) \(\dfrac{37}{30}\)
5. 3; 21; 147
6. \(\dfrac{1}{8}\)
7. 7; -14; 28; -56
8. 4
9. 5
10. 3 и 4 или 48 и \(\dfrac{1}{4}\)