Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия
Числовая последовательность
Начнём с определения последовательности.
Числовая последовательность — это множество чисел, в котором каждому числу можно присвоить уникальный номер (то есть поставить в соответствие единственное натуральное число от \(1\) до \(n\)). Число с номером \(n\) называется \(n\)-ым членом последовательности.
К примеру, есть последовательность чисел: 4; 13; -7; 0,15; -8,2... Здесь число 4 - это первый член последовательности, который можно обозначить \(a_1\). Третий член последовательности - это число -7, которое обозначается как \(a_3\). Если последовательность имеет \(n\) членов, то \(n\)-ый обозначается как \(a_n\). Вообще, можно использовать любые буквы для обозначения, но больше принято использовать \(a\) для арифметической прогрессии и \(b\) для геометрической.
Иногда последовательность можно задать формулой. К примеру, формула \(a_n=3n-5\) задаёт числовую последовательность: -2; 1; 4; 7...
Арифметическая прогрессия
Теперь рассмотрим арифметическую прогрессию.
Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа, называемого разностью арифметической прогрессии. Иначе говоря, новый член данной прогрессии образуется путём прибавления разности к предыдущему члену.
Последовательность 2; 5; 8; 11... является арифметической прогрессией с первым членом \(a_1=2\) и разностью \(d=3\). И действительно, каждый новый член прогрессии получается как сумма предыдущего и разности \(d\).
Тогда верно следующее равенство: \(a_{n+1}=a_n+d\). Или же \(d=a_{n+1}-a_n\). То есть \(d\) - фиксированная величина, равная разности двух соседних членов прогрессии. Если разность \(d>0\), то прогрессия называется возрастающей; если \(d<0\) - убывающей. Очевидно, что \(d\neq0\), иначе числовой ряд состоял бы только из одного повторяющегося числа и не являлся бы арифметической прогрессией.
Если у нас есть первый член прогрессии \(a_1\), то второй мы можем получить как \(a_2=a_1+d\). Третий будет \(a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d\). И дальше \(a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d\). Таким образом, мы можем выразить любой член прогрессии через первый по формуле \(a_n=a_1+d(n-1)\). То есть к первому члену нужно прибавить разность прогрессии \(n-1\) раз, чтобы получить \(n\)-ый член.
Ещё важным свойством арифметической прогрессии является то, что любой член прогрессии (начиная со второго) является средним арифметическим двух соседних. То есть верна формула: \(a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\). Доказательством является подстановка \(a_{n-1}=a_n-d\) и \(a_{n+1}=a_n+d\) в формулу. Эту же формулу можно переписать в виде: \(a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n\). В общем виде формулу можно записать так: \(a_n=\dfrac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}\) или \(2a_n=a_{n-k}+a_{n+k}\) для любого \(n\geqslant2\) и \(k<n\).
Так как \(d\) - постоянная величина, то для арифметической прогрессии справедлива запись: \(a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}\).
У любой арифметической прогрессии мы можем найти сумму её членов. Для этого есть формула: \(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\). То есть если прогрессия состоит из \(a_1; a_2; a_3; ... ; a_n\), то, сложив крайние члены, разделив сумму пополам и умножив на количество членов, мы получим сумму \(a_1+a_2+a_3+ ... +a_n\). Разберём эту формулу на примере поиска суммы всех чисел от 1 до 100, что является арифметической прогрессией с разностью \(d=1\). Сложим крайние члены 1 и 100 - получим 101. Если сложить второй и предпоследний: 2 и 99 - то тоже получим 101. И так далее, до середины ряда. Таким образом, таких пар нам нужно взять ровно половину от всех чисел, то есть \(\dfrac{n}{2}\).
А теперь в получившуюся формулу для суммы членов вместо \(a_n\) подставим найденное ранее \(a_n=a_1+d(n-1)\). Тогда получим \(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n\). Данной формулой удобно пользоваться, если нет последнего члена прогрессии, но есть её разность. Конечно, можно сначала найти последний член, а потом воспользоваться первой формулой, но можно и сразу пользоваться новой.
Записаться на пробный урок ЕГЭ по профильной математике https://marseltutor.ru/
Разберём несколько задач, где пригодятся формулы арифметической прогрессии.
Задача 1. В арифметической прогрессии 2; 5; 8; 11... найдите формулу \(n\)-го члена и вычислите сотый член.
Из исходных данных можно понять, что \(a_1=2\) и \(d=3\). Тогда, подставляя это в формулу \(a_n=a_1+d(n-1)\) получаем формулу для \(n\)-го члена этой прогрессии: \(a_n=2+3(n-1)=3n-1\). Тогда \(a_{100}=3\cdot100-1=299\).
Задача 2. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.
Из условия мы понимаем, что общий пройдённый путь равняется 150 метрам. И он же является суммой всех расстояний, пройденных за \(n\) дней. То есть \(S_n=150\). И также известно, что \(a_1+a_n=10\). Тогда, подставляя известные нам данные в формулу \(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\) получаем, что \(n=30\), что и требовалось найти.
Задача 3. Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.
Выписываем известные данные: \(a_1=5, n=14, S_n=434\). Пользуясь формулой для суммы членов арифметической прогрессии получаем: \(434=\dfrac{5+a_{14}}{2}\cdot 14 \Leftrightarrow a_{14}=57\).
Задача 4. Между числами 1 и 7 вставьте четыре числа так, чтобы получилась арифметическая прогрессия.
Так как нужно вставить 4 числа, то всего в данной прогрессии получится 6 чисел. Значит \(a_1=1\) и \(a_6=7\). Распишем \(a_6=a_1+5d=7\). Вычитая из этого равенства первое получим, что \(5d=6 \Leftrightarrow d=1,2\). Тогда прогрессия принимает вид: 1; 2,2; 3,4; 4,6; 5,8, 7.
Задача 5. Дана арифметическая прогрессия: -4; -2; 0… Найдите сумму первых десяти её членов.
Чтобы найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, помимо первого члена нам нужно либо знать десятый член, либо просто разность прогрессии. И эту задачу легче решать по формуле \(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n\), ведь \(a_1=-4\) и \(d=a_2-a_1=-2+4=2\). Тогда \(S_n=\dfrac{-8+2\cdot9}{2}\cdot10=50\).
Задача 6. Задана арифметическая прогрессия, где пятый и десятый члены равны 38 и 23 соответственно. Найдите пятнадцатый член прогрессии.
Распишем \(a_5=a_1+4d=38\) и \(a_{10}=a_1+9d=23\). Вычитая из второго уравнения первое получаем, что \(5d=-15 \Leftrightarrow d=-3\) и \(a_1=38-4d=38+12=50\). Тогда \(a_{15}=a_1+14d=50-14\cdot3=8\).
После нахождения \(d=-3\) можно было поступить так: \(a_{15}=a_5+10d=38-10\cdot3=8\) или \(a_{15}=a_{10}+5d=23-5\cdot3=8\). То есть не обязательно находить первый член, чтобы выразить какой-то ещё. Можно выражать их друг через друга, прибавляя к члену с меньшим индексом столько раз \(d\), сколько составляет разность их индексов.
Задача 7. Найдите сумму первых 19 членов арифметической прогрессии, десятый член которой равен 1000.
Из условия понятно, что \(a_{10}=a_1+9d=1000\). И также можно расписать \(a_{19}=a_1+18d\), ведь он нам пригодится в формуле для суммы. Попробуем получить выражение \(a_1+a_{19}\). Для этого к обоим частям второго равенства прибавим \(a_1\). Получаем: \(a_1+a_{19}=2a_1+18d=2(a_1+9d)\). А выражение в скобках - это и есть запись десятого члена. То есть \(a_1+a_{19}=2a_{10}=2000\). Тогда \(S_{19}=\dfrac{a_1+a_{19}}{2}\cdot19=19000\). Заключение, что \(a_1+a_{19}=2a_{10}\) можно было также получить, исходя из формулы \(a_n=\dfrac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}\) для \(n=10\) и \(k=9\).
Задача 8. Сколько положительных чисел содержится в прогрессии 23,1; 22,7... ?
Мы знаем, что \(a_1=23,1\) и \(d=-0,4\). То есть \(a_n=23,1-0,4(n-1)=23,5-0,4n\). Нам нужно найти номер того члена, который будет последним положительным. Можно попробовать найти член, равный нулю, то есть \(a_n=23,5-0,4n=0 \Leftrightarrow n=58,75\). Так как значение вышло не целым числом, значит, что нулевого члена нет в данной прогрессии. Однако теперь мы можем понять, что ноль находится между 58-ым и 59-ым членами. А так как прогрессия убывающая (\(d<0\)), то 58-ой - последний положительный, а 59-ый - первый отрицательный. То есть всего мы имеет 58 положительных членов прогрессии.
Можно было поступить так. Мы получили формулу \(a_n=23,5-0,4n\). Скажем, что \(a_n>0\), ведь нам нужны только такие члены. Тогда, решив неравенство, получаем, что \(n<58,75\). А значит наибольшее значение, которое может принимать \(n\), чтобы члены прогрессии были положительными - это число 58.
Задача 9. Внутренние углы некоторого выпуклого многоугольника, наименьший из которых равен \(120^{\circ}\), образуют арифметическую прогрессию с разностью \(5^{\circ}\). Найдите число сторон этого многоугольника.
С помощью известных данных запишем формулу для нахождения суммы всех \(n\) углов многоугольника: \(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=\) \(\dfrac{240+5(n-1)}{2}\cdot n\). И также мы знаем, что сумма углов любого многоугольника находится по формуле \((n-2)\cdot180^{\circ}\), где \(n\) - количество углов. Приравнивая два выражения находим, что \(n=9\) или \(n=16\). Однако при \(n=16\) получим, что часть углов превышает \(180^{\circ}\). Для \(n=9\) тоже можно сделать проверку и убедиться, что подходит только \(n=9\).
Задачи для самопроверки
Задача 1. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
Задача 2. Рабочие прокладывают тоннель длиной 99 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 7 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 9 дней.
Задача 3. Вика решила начать делать зарядку каждое утро. В первый день она сделала 30 приседаний, а в каждый следующий день она делала на одно и то же количество приседаний больше, чем в предыдущий день. За 15 дней она сделала всего 975 приседаний. Сколько приседаний сделала Вика в пятый день?
Задача 4. Между числами 1 и 4 вставьте 8 чисел так, чтобы они вместе с данными числами составляли арифметическую прогрессию.
Задача 5. Найдите количество членов арифметической прогрессии 9; 12; 15..., если их сумма равна 306.
Задача 6. Конечная арифметическая прогрессия состоит из восьми натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего из них равна 11. Найдите сумму всех членов этой прогрессии.
Задача 7. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найдите сумму первых 11 членов этой прогрессии.
Задача 8. Известно, что \(a_1\); ... ; \(a_{15}\) — арифметическая прогрессия и \(a_1+a_5+a_{15}=3\). Найти \(a_5+a_9\).
Задача 9. В арифметической прогрессии \(a_n\) известно, что \(a_4+a_8+a_{12}+a_{16}=224\). Найдите сумму первых 19 членов этой прогрессии.
Задача 10. Найти трёхзначное число, цифры которого образуют (в том порядке, в котором они стоят в числе) возрастающую арифметическую прогрессию и которое делится на 45.
Задача 11. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна \(\dfrac{5}{3}\), а произведение третьего и четвёртого её членов равно \(\dfrac{65}{72}\). Найдите сумму первых 17 членов этой прогрессии.
Ответы
1. 18
2. 15
3. 50
4. Получившаяся прогрессия: \(1; 1\dfrac{1}{3}; 1\dfrac{2}{3}; 2; 2\dfrac{1}{3}; 2\dfrac{2}{3}; 3; 3\dfrac{1}{3}; 3\dfrac{2}{3}; 4\).
5. 12
6. 44
7. 44
8. 2
9. 1064
10. 135
11. \(\dfrac{119}{3}\)