Арифметическая прогрессия

Числовая последовательность

Начнём с определения последовательности. 

Числовая последовательность — это множество чисел, в котором каждому числу можно присвоить уникальный номер (то есть поставить в соответствие единственное натуральное число от до ). Число с номером называется -ым членом последовательности.

К примеру, есть последовательность чисел: 4; 13; -7; 0,15; -8,2... Здесь число 4 - это первый член последовательности, который можно обозначить . Третий член последовательности - это число -7, которое обозначается как . Если последовательность имеет членов, то -ый обозначается как . Вообще, можно использовать любые буквы для обозначения, но больше принято использовать для арифметической прогрессии и  для геометрической.

Иногда последовательность можно задать формулой. К примеру, формула задаёт числовую последовательность: -2; 1; 4; 7...

Арифметическая прогрессия

Теперь рассмотрим арифметическую прогрессию. 

Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа, называемого разностью арифметической прогрессии. Иначе говоря, новый член данной прогрессии образуется путём прибавления разности к предыдущему члену. 

Последовательность 2; 5; 8; 11... является арифметической прогрессией с первым членом и разностью . И действительно, каждый новый член прогрессии получается как сумма предыдущего и разности .

Тогда верно следующее равенство: . Или же . То есть - фиксированная величина, равная разности двух соседних членов прогрессии. Если разность , то прогрессия называется возрастающей; если - убывающей. Очевидно, что , иначе числовой ряд состоял бы только из одного повторяющегося числа и не являлся бы арифметической прогрессией.

Если у нас есть первый член прогрессии , то второй мы можем получить как . Третий будет . И дальше . Таким образом, мы можем выразить любой член прогрессии через первый по формуле . То есть к первому члену нужно прибавить разность прогрессии раз, чтобы получить -ый член.

Ещё важным свойством арифметической прогрессии является то, что любой член прогрессии (начиная со второго) является средним арифметическим двух соседних. То есть верна формула: . Доказательством является подстановка и в формулу. Эту же формулу можно переписать в виде: . В общем виде формулу можно записать так: или для любого и .

Так как - постоянная величина, то для арифметической прогрессии справедлива запись: .

У любой арифметической прогрессии мы можем найти сумму её членов. Для этого есть формула: . То есть если прогрессия состоит из , то, сложив крайние члены, разделив сумму пополам и умножив на количество членов, мы получим сумму . Разберём эту формулу на примере поиска суммы всех чисел от 1 до 100, что является арифметической прогрессией с разностью . Сложим крайние члены 1 и 100 - получим 101. Если сложить второй и предпоследний: 2 и 99 - то тоже получим 101. И так далее, до середины ряда. Таким образом, таких пар нам нужно взять ровно половину от всех чисел, то есть .

А теперь в получившуюся формулу для суммы членов вместо подставим найденное ранее . Тогда получим . Данной формулой удобно пользоваться, если нет последнего члена прогрессии, но есть её разность. Конечно, можно сначала найти последний член, а потом воспользоваться первой формулой, но можно и сразу пользоваться новой.

Записаться на пробный урок ЕГЭ по профильной математике https://marseltutor.ru/

Разберём несколько задач, где пригодятся формулы арифметической прогрессии.

Задача 1. В арифметической прогрессии 2; 5; 8; 11... найдите формулу -го члена и вычислите сотый член.

Из исходных данных можно понять, что и . Тогда, подставляя это в формулу получаем формулу для -го члена этой прогрессии: . Тогда .

Задача 2. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Из условия мы понимаем, что общий пройдённый путь равняется 150 метрам. И он же является суммой всех расстояний, пройденных за дней. То есть . И также известно, что . Тогда, подставляя известные нам данные в формулу получаем, что , что и требовалось найти.

Задача 3. Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

Выписываем известные данные: . Пользуясь формулой для суммы членов арифметической прогрессии получаем: .

Задача 4. Между числами 1 и 7 вставьте четыре числа так, чтобы получилась арифметическая прогрессия.

Так как нужно вставить 4 числа, то всего в данной прогрессии получится 6 чисел. Значит и . Распишем . Вычитая из этого равенства первое получим, что . Тогда прогрессия принимает вид: 1; 2,2; 3,4; 4,6; 5,8, 7.

Задача 5. Дана арифметическая прогрессия: -4; -2; 0… Найдите сумму первых десяти её членов.

Чтобы найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, помимо первого члена нам нужно либо знать десятый член, либо просто разность прогрессии. И эту задачу легче решать по формуле , ведь и . Тогда .

Задача 6. Задана арифметическая прогрессия, где пятый и десятый члены равны 38 и 23 соответственно. Найдите пятнадцатый член прогрессии.

Распишем и . Вычитая из второго уравнения первое получаем, что и . Тогда . 

После нахождения можно было поступить так: или . То есть не обязательно находить первый член, чтобы выразить какой-то ещё. Можно выражать их друг через друга, прибавляя к члену с меньшим индексом столько раз , сколько составляет разность их индексов.

Задача 7. Найдите сумму первых 19 членов арифметической прогрессии, десятый член которой равен 1000.

Из условия понятно, что . И также можно расписать , ведь он нам пригодится в формуле для суммы. Попробуем получить выражение . Для этого к обоим частям второго равенства прибавим . Получаем: . А выражение в скобках - это и есть запись десятого члена. То есть . Тогда . Заключение, что можно было также получить, исходя из формулы для и .

Задача 8. Сколько положительных чисел содержится в прогрессии 23,1; 22,7... ?

Мы знаем, что и . То есть . Нам нужно найти номер того члена, который будет последним положительным. Можно попробовать найти член, равный нулю, то есть . Так как значение вышло не целым числом, значит, что нулевого члена нет в данной прогрессии. Однако теперь мы можем понять, что ноль находится между 58-ым и 59-ым членами. А так как прогрессия убывающая (), то 58-ой - последний положительный, а 59-ый - первый отрицательный. То есть всего мы имеет 58 положительных членов прогрессии.

Можно было поступить так. Мы получили формулу . Скажем, что , ведь нам нужны только такие члены. Тогда, решив неравенство, получаем, что . А значит наибольшее значение, которое может принимать , чтобы члены прогрессии были положительными - это число 58.

Задача 9. Внутренние углы некоторого выпуклого многоугольника, наименьший из которых равен , образуют арифметическую прогрессию с разностью . Найдите число сторон этого многоугольника.

С помощью известных данных запишем формулу для нахождения суммы всех углов многоугольника: . И также мы знаем, что сумма углов любого многоугольника находится по формуле , где - количество углов. Приравнивая два выражения находим, что или . Однако при получим, что часть углов превышает . Для тоже можно сделать проверку и убедиться, что подходит только .

Задачи для самопроверки

Задача 1. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Задача 2. Рабочие прокладывают тоннель длиной 99 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 7 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 9 дней.
Задача 3. Вика решила начать делать зарядку каждое утро. В первый день она сделала 30 приседаний, а в каждый следующий день она делала на одно и то же количество приседаний больше, чем в предыдущий день. За 15 дней она сделала всего 975 приседаний. Сколько приседаний сделала Вика в пятый день?

Задача 4. Между числами 1 и 4 вставьте 8 чисел так, чтобы они вместе с данными числами составляли арифметическую прогрессию.

Задача 5. Найдите количество членов арифметической прогрессии 9; 12; 15..., если их сумма равна 306.

Задача 6. Конечная арифметическая прогрессия состоит из восьми натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего из них равна 11. Найдите сумму всех членов этой прогрессии.

Задача 7. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найдите сумму первых 11 членов этой прогрессии.

Задача 8. Известно, что ; ... ; — арифметическая прогрессия и . Найти .

Задача 9. В арифметической прогрессии известно, что . Найдите сумму первых 19 членов этой прогрессии.

Задача 10. Найти трёхзначное число, цифры которого образуют (в том порядке, в котором они стоят в числе) возрастающую арифметическую прогрессию и которое делится на 45.

Задача 11. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна , а произведение третьего и четвёртого её членов равно . Найдите сумму первых 17 членов этой прогрессии.

Ответы

1. 18

2. 15

3. 50

4. Получившаяся прогрессия: .

5. 12

6. 44

7. 44

8. 2

9. 1064

10. 135

11.

Теория к первой части ЕГЭ

Банк задач по первой части ЕГЭ

Другие статьи по важным темам

План подготовки к ЕГЭ