№7. Простейшие уравнения

Шаг 1. Перенесём всё в одну часть и применим формулу разности квадратов:
\[(7-4x)^{2}-(2x+5)^{2}=0,\]
\[\bigl((7-4x)-(2x+5)\bigr)\bigl((7-4x)+(2x+5)\bigr)=0.\]
Шаг 2. Упростим скобки:
\[(2-6x)(12-2x)=0.\]
Шаг 3. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
\[2-6x=0\ \Rightarrow\ x=\frac13;\qquad 12-2x=0\ \Rightarrow\ x=6.\]
Шаг 4. Наибольший из корней
\[x=6.\]

Шаг 1. ОДЗ: дробь под корнем неотрицательна и знаменатель не равен нулю. Числитель
\(18>0\), поэтому
\[2x-52>0,\qquad x>26.\]
Шаг 2. Правая часть положительна, возводим обе части в квадрат:
\[\frac{18}{2x-52}=\left(\frac18\right)^{2}=\frac{1}{64}.\]
Шаг 3. По основному свойству пропорции
\[2x-52=18\cdot64=1152.\]
Шаг 4. Решаем:
\[2x=1204,\qquad x=602.\]
Шаг 5. Проверка ОДЗ: \(602>26\) — корень подходит.

Шаг 1. ОДЗ: под логарифмом в левой части должно стоять положительное число,
\[8-x>0,\qquad x<8.\]
Шаг 2. Функция \(y=\log_{5}t\) возрастает, поэтому равные логарифмы с одинаковым основанием
имеют равные аргументы:
\[8-x=2.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=6.\]
Шаг 4. Проверка ОДЗ: \(6<8\) — корень подходит.

Шаг 1. Представим правую часть как степень двойки:
\[16=2^{4}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[2^{\,-4-x}=2^{4}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[-4-x=4.\]
Шаг 4. Отсюда
\[-x=8,\qquad x=-8.\]

Шаг 1. Куб — возрастающая функция, поэтому кубический корень из 64 извлекается
однозначно:
\[x-5=\sqrt[3]{64}=4.\]
Шаг 2. Отсюда
\[x=5+4=9.\]

Шаг 1. Правая часть положительна, поэтому возведение в квадрат равносильно: подкоренное
выражение после него окажется равным \(16>0\).
Шаг 2. Возводим обе части в квадрат:
\[9x-47=4^{2}=16.\]
Шаг 3. Решаем:
\[9x=63,\qquad x=7.\]