№7. Простейшие уравнения

Шаг 1. Представим правую часть как степень тройки:
\[81=3^{4}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[3^{\,1-x}=3^{4}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[1-x=4.\]
Шаг 4. Отсюда
\[x=1-4=-3.\]

Шаг 1. Приведём левую часть к основанию 6, учитывая \(\dfrac16=6^{-1}\):
\[\left(\frac16\right)^{x-2}=\left(6^{-1}\right)^{x-2}=6^{\,2-x}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[6^{\,2-x}=6^{\,x}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[2-x=x.\]
Шаг 4. Отсюда
\[2x=2,\qquad x=1.\]

Шаг 1. Приведём обе части к основанию 7, учитывая \(\dfrac17=7^{-1}\) и \(49=7^{2}\):
\[\left(\frac17\right)^{x+4}=\left(7^{-1}\right)^{x+4}=7^{\,-x-4}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[7^{\,-x-4}=7^{2}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[-x-4=2.\]
Шаг 4. Отсюда
\[-x=6,\qquad x=-6.\]

Шаг 1. Оба числа — степени семёрки: \(49=7^{2}\) и \(343=7^{3}\), поэтому
\[49^{\,x+1}=\left(7^{2}\right)^{x+1}=7^{\,2x+2},\qquad \frac{1}{343}=7^{-3}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[7^{\,2x+2}=7^{-3}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[2x+2=-3.\]
Шаг 4. Решаем:
\[2x=-5,\qquad x=-2{,}5.\]

Шаг 1. ОДЗ: под логарифмом положительное число,
\[5-x>0,\qquad x<5.\]
Шаг 2. По определению логарифма
\[5-x=6^{2}=36.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=5-36=-31.\]
Шаг 4. Проверка ОДЗ: \(-31<5\) — корень подходит.

Шаг 1. Правая часть — степень тройки: \(27=3^{3}\), поэтому
\[\frac{1}{27}=3^{-3}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[3^{\,2x-19}=3^{-3}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[2x-19=-3.\]
Шаг 4. Решаем:
\[2x=16,\qquad x=8.\]