№7. Простейшие уравнения

Шаг 1. ОДЗ: под логарифмом положительное число,
\[4-x>0,\qquad x<4.\]
Шаг 2. По определению логарифма
\[4-x=2^{7}=128.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=4-128=-124.\]
Шаг 4. Проверка ОДЗ: \(-124<4\) — корень подходит.

Шаг 1. ОДЗ: знаменатели не равны нулю,
\[7x-11\neq0,\qquad 9x-8\neq0.\]
Шаг 2. У дробей равные числители, поэтому дроби равны тогда и только тогда, когда равны
знаменатели:
\[7x-11=9x-8.\]
Шаг 3. Решаем линейное уравнение:
\[-11+8=9x-7x,\qquad -3=2x,\qquad x=-1{,}5.\]
Шаг 4. Проверим ОДЗ:
\[7\cdot(-1{,}5)-11=-21{,}5\neq0,\qquad 9\cdot(-1{,}5)-8=-21{,}5\neq0.\]
Корень подходит.

Шаг 1. Представим правую часть как степень пятёрки:
\[125=5^{3}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[5^{\,x-4}=5^{3}.\]
Шаг 3. Функция \(y=5^{t}\) возрастает, поэтому равенство степеней равносильно равенству
показателей:
\[x-4=3.\]
Шаг 4. Отсюда
\[x=7.\]

Шаг 1. Приведём обе части к основанию 2: \(8=2^{3}\) и \(\dfrac12=2^{-1}\). Тогда
\[8^{\,x-2}=\left(2^{3}\right)^{x-2}=2^{\,3x-6},\qquad
\left(\frac12\right)^{x}=2^{-x}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[2^{\,3x-6}=2^{-x}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[3x-6=-x.\]
Шаг 4. Решаем:
\[4x=6,\qquad x=1{,}5.\]

Шаг 1. Приведём правую часть к основанию 3, учитывая \(9=3^{2}\):
\[9^{x}=\left(3^{2}\right)^{x}=3^{\,2x}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[3^{\,2-3x}=3^{\,2x}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[2-3x=2x.\]
Шаг 4. Решаем:
\[5x=2,\qquad x=0{,}4.\]

Шаг 1. Раскроем квадрат разности:
\[x^{2}-26x+169=-52x.\]
Шаг 2. Перенесём всё в левую часть:
\[x^{2}-26x+52x+169=0,\qquad x^{2}+26x+169=0.\]
Шаг 3. Заметим полный квадрат, так как \(169=13^{2}\) и \(26=2\cdot13\):
\[(x+13)^{2}=0.\]
Шаг 4. Отсюда единственный корень
\[x=-13.\]