№7. Простейшие уравнения

Шаг 1. ОДЗ: под логарифмом положительное число,
\[5x+5>0,\qquad x>-1.\]
Шаг 2. По определению логарифма
\[5x+5=5^{3}=125.\]
Шаг 3. Решаем:
\[5x=120,\qquad x=24.\]
Шаг 4. Проверка ОДЗ: \(24>-1\) — корень подходит.

Шаг 1. ОДЗ: знаменатель не равен нулю,
\[x-13\neq0,\qquad x\neq13.\]
Шаг 2. Умножим обе части на \(x-13\):
\[x(x-13)=-3x-24,\qquad x^{2}-13x=-3x-24.\]
Шаг 3. Перенесём всё влево:
\[x^{2}-13x+3x+24=0,\qquad x^{2}-10x+24=0.\]
Шаг 4. Решаем квадратное уравнение:
\[D=100-96=4,\qquad x=\frac{10\pm2}{2},\]
\[x=6\quad\text{и}\quad x=4.\]
Шаг 5. Оба корня отличны от 13, значит оба допустимы. В ответе нужен больший:
\[x=6.\]

Шаг 1. Правая часть — степень того же основания \(\dfrac13\):
\[\frac19=\left(\frac13\right)^{2}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[\left(\frac13\right)^{x-8}=\left(\frac13\right)^{2}.\]
Шаг 3. Функция \(y=\left(\frac13\right)^{t}\) убывает, то есть монотонна, поэтому
равенство степеней равносильно равенству показателей:
\[x-8=2.\]
Шаг 4. Отсюда
\[x=10.\]

Шаг 1. Кубический корень определён при любом значении подкоренного выражения, и функция
\(y=\sqrt[3]{t}\) возрастает. Поэтому возведение обеих частей в куб равносильно исходному
уравнению — никаких ограничений и проверок не возникает.
Шаг 2. Возводим в куб:
\[x+3=3^{3}=27.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=27-3=24.\]

Шаг 1. ОДЗ: под логарифмом положительное число,
\[6-x>0,\qquad x<6.\]
Шаг 2. По определению логарифма
\[6-x=2^{5}=32.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=6-32=-26.\]
Шаг 4. Проверка ОДЗ: \(-26<6\) — корень подходит.

Шаг 1. Переведём смешанное число в неправильную дробь:
\[21\frac35=\frac{21\cdot5+3}{5}=\frac{108}{5}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[\frac{4}{15}x^{2}=\frac{108}{5}.\]
Шаг 3. Умножим обе части на \(\dfrac{15}{4}\):
\[x^{2}=\frac{108}{5}\cdot\frac{15}{4}=\frac{108\cdot3}{4}=81.\]
Шаг 4. Отсюда два корня:
\[x=9\quad\text{и}\quad x=-9.\]
Шаг 5. В ответе нужен больший корень:
\[x=9.\]