№1. Планиметрия

Шаг 1. На какую дугу опирается угол

Угол \(ABC\) вписанный, его вершина \(B\). Вписанный угол опирается на ту дугу, которая лежит внутри него, то есть на дугу \(AC\), не содержащую точку \(B\). Эта дуга состоит из двух кусков — из дуги \(AD\) и дуги \(DC\):

\[\smile AC = \smile AD + \smile DC = 262^\circ + 25^\circ = 287^\circ.\]

Шаг 2. Половина дуги

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

\[\angle ABC = \dfrac{287^\circ}{2} = 143{,}5^\circ.\]

Шаг 1. От средней линии к сумме оснований

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому

\[\dfrac{AB + CD}{2} = 17,\qquad AB + CD = 34.\]

Шаг 2. Свойство описанной трапеции

Если около окружности описан четырёхугольник, суммы его противоположных сторон равны. Для трапеции это значит, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:

\[AB + CD = AD + BC = 34.\]

Шаг 3. Складываем

\[P = (AB + CD) + (AD + BC) = 34 + 34 = 68.\]
 

Шаг 1. Что связывает хорду, угол и радиус

Вписанный угол \(ACB\) опирается на хорду \(AB\). В треугольнике \(ABC\) сторона \(AB\) лежит против угла \(C\), а окружность, в которую вписан угол, является описанной около этого треугольника. По теореме синусов

\[\dfrac{AB}{\sin C} = 2R.\]

Шаг 2. Подставляем

\[AB = 2R\sin C = 2\cdot 35\sqrt3\cdot \sin 120^\circ = 70\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = 35\cdot 3 = 105.\]
 

Шаг 1. Площадь через две стороны и угол между ними

Боковые стороны равны, обозначим каждую через \(a\): \(AC = BC = a\). Угол между ними — тот самый угол при вершине \(C\), он равен \(30^\circ\). Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:

\[S = \dfrac12\,AC\cdot BC\cdot \sin C = \dfrac12\,a^2\sin 30^\circ.\]

Шаг 2. Решаем уравнение

Так как \(\sin 30^\circ = \dfrac12\), получаем

\[\dfrac12\,a^2\cdot\dfrac12 = 49,\qquad \dfrac{a^2}{4} = 49,\qquad a^2 = 196,\qquad a = 14.\]

Шаг 1. Находим косинус

Угол \(A\) острый, поэтому его косинус положителен:

\[\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \dfrac{19}{100}} = \sqrt{\dfrac{81}{100}} = \dfrac{9}{10}.\]

Шаг 2. Катет через гипотенузу

Угол \(C\) прямой, значит \(AB\) — гипотенуза. Катет \(AC\) прилежит к углу \(A\), поэтому

\[\cos A = \dfrac{AC}{AB},\qquad AC = AB\cdot\cos A = 4\cdot \dfrac{9}{10} = 3{,}6.\]
 

Шаг 1. Свойство описанного четырёхугольника

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:

\[AB + CD = BC + AD.\]

Это следствие того, что отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: обозначив эти отрезки у вершин через \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), получаем \(AB + CD = (a+b) + (c+d)\) и \(BC + AD = (b+c) + (d+a)\) — одно и то же.

Шаг 2. Считаем периметр

\[AB + CD = 7 + 13 = 20,\qquad\text{значит}\qquad BC + AD = 20.\]

\[P = AB + BC + CD + AD = 20 + 20 = 40.\]