№1. Планиметрия

Шаг 1. От вписанного угла к центральному

Угол \(ACB\) — вписанный, он опирается на дугу \(AB\). Центральный угол \(AOB\) опирается на ту же дугу, а центральный вдвое больше вписанного:

\[\angle AOB = 2\,\angle ACB = 2\cdot 38^\circ = 76^\circ.\]

Шаг 2. Используем, что BD — диаметр

Точки \(B\), \(O\), \(D\) лежат на одной прямой, потому что \(BD\) — диаметр. Значит углы \(AOB\) и \(AOD\) смежные:

\[\angle AOD = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ.\]
 

Шаг 1. Выражаем отрезок через сторону

Обозначим сторону квадрата через \(a\). Точка \(M\) — середина \(AB\), поэтому \(AM = \dfrac{a}{2}\), а \(AD = a\). Угол \(A\) в квадрате прямой, значит треугольник \(AMD\) прямоугольный, и по теореме Пифагора

\[DM^2 = AD^2 + AM^2 = a^2 + \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{5a^2}{4}.\]

Шаг 2. Решаем уравнение

\[\dfrac{5a^2}{4} = 45,\qquad a^2 = 36.\]

Шаг 3. Читаем вопрос

Спрашивают площадь квадрата, а она равна \(a^2\):

\[S = a^2 = 36.\]
 

Шаг 1. Опускаем высоту и находим её

Опустим из вершины \(C\) высоту \(CH\) на большее основание. Трапеция равнобедренная, поэтому высоты, опущенные из обеих верхних вершин, отсекают по краям равные отрезки:

\[BH = \dfrac{21 - 11}{2} = 5.\]

Из прямоугольного треугольника \(BCH\) по теореме Пифагора

\[CH = \sqrt{BC^2 - BH^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12.\]

Шаг 2. Диагональ из прямоугольного треугольника

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACH\). Его катет \(CH = 12\), а второй катет — это весь отрезок от \(A\) до \(H\):

\[AH = AB - BH = 21 - 5 = 16.\]

\[AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20.\]
 

Шаг 1. Находим второй катет

Угол \(C\) прямой, значит \(AB\) — гипотенуза. По теореме Пифагора

\[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{100 - 51} = \sqrt{49} = 7.\]

Шаг 2. Применяем определение синуса

Синус острого угла прямоугольного треугольника — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Углу \(A\) противолежит катет \(BC\):

\[\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7.\]
 

Шаг 1. Свойство описанного четырёхугольника

Если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны:

\[AB + CD = BC + AD.\]

Шаг 2. Половина периметра

Периметр складывается как раз из этих двух одинаковых сумм, значит каждая из них равна половине периметра:

\[AB + CD = \dfrac{P}{2} = \dfrac{34}{2} = 17.\]

Шаг 3. Находим AB

\[AB = 17 - CD = 17 - 10 = 7.\]
 

Шаг 1. Восстанавливаем угол A целиком

Биссектриса \(AD\) делит угол \(A\) на две равные части, и одна из них дана:

\[\angle A = 2\,\angle CAD = 2\cdot 38^\circ = 76^\circ.\]

Шаг 2. Сумма углов треугольника

\[\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 76^\circ - 46^\circ = 58^\circ.\]