№1. Планиметрия

Шаг 1. Находим высоту

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

\[S = \dfrac{a + b}{2}\cdot h,\qquad 64 = \dfrac{18 + 14}{2}\cdot h = 16h,\qquad h = 4.\]

Шаг 2. Выделяем прямоугольный треугольник

Трапеция прямоугольная, поэтому боковая сторона \(AD\) перпендикулярна основаниям и \(AD = h = 4\). Опустим из вершины \(C\) перпендикуляр на основание \(AB\); отсечётся прямоугольник со стороной \(14\), а в остатке получится прямоугольный треугольник, у которого один катет — высота \(4\), а второй катет равен разности оснований:

\[18 - 14 = 4.\]

Шаг 3. Считаем угол

Острый угол \(B\) лежит в этом прямоугольном треугольнике, причём

\[\operatorname{tg} B = \dfrac{4}{4} = 1,\qquad\text{значит}\qquad \angle B = 45^\circ.\]
 

Шаг 1. Обозначаем и записываем связь

Пусть вписанный угол равен \(\alpha\). Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше вписанного, то есть равен \(2\alpha\).

Шаг 2. Переводим условие в уравнение

«Центральный на \(28^\circ\) больше вписанного» означает

\[2\alpha = \alpha + 28^\circ.\]

Отсюда \(\alpha = 28^\circ\), а центральный угол равен

\[2\alpha = 56^\circ.\]

Шаг 1. Почему работает формула с диагоналями

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому ромб разбивается на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами \(\frac{d_1}{2}\) и \(\frac{d_2}{2}\), и его площадь равна

\[S = \dfrac{d_1 d_2}{2}.\]

Шаг 2. Подставляем

\[S = \dfrac{12\cdot 6}{2} = 36.\]
 

Шаг 1. Разбиваем искомый угол

Диагональ \(BD\) проходит внутри угла \(ABC\) и делит его на две части:

\[\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC.\]

Первое слагаемое дано, осталось найти \(\angle DBC\).

Шаг 2. Два угла на одну дугу

Углы \(CAD\) и \(CBD\) — вписанные, и оба опираются на дугу \(CD\): у первого вершина \(A\), у второго вершина \(B\), и обе эти вершины лежат на одной дуге относительно хорды \(CD\). Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, поэтому

\[\angle DBC = \angle CAD = 35^\circ.\]

Шаг 3. Складываем

\[\angle ABC = 75^\circ + 35^\circ = 110^\circ.\]
 

Шаг 1. Считаем площадь по первой паре

Сторона \(AC = 9\), проведённая к ней высота \(BH = 4\). Тогда

\[S = \dfrac12\,AC\cdot BH = \dfrac12\cdot 9\cdot 4 = 18.\]

Шаг 2. Та же площадь по второй паре

Для стороны \(BC = 6\) и высоты \(AK\), проведённой к ней, площадь та же самая:

\[\dfrac12\cdot 6\cdot AK = 18,\qquad AK = \dfrac{36}{6} = 6.\]

Шаг 1. Находим второй катет

Угол \(C\) прямой, значит \(AB\) — гипотенуза, а \(AC\) и \(BC\) — катеты. По теореме Пифагора

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100 - 19} = \sqrt{81} = 9.\]

Шаг 2. Применяем определение косинуса

Косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. К углу \(A\) прилежит катет \(AC\):

\[\cos A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9.\]