№1. Планиметрия

Шаг 1. От внешнего угла к внутреннему

Внешний угол при вершине \(B\) и внутренний угол \(B\) — смежные, их сумма равна \(180^\circ\):

\[\angle ABC = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ.\]

Шаг 2. Находим второй угол при основании

Стороны \(AC\) и \(BC\) равны, значит треугольник равнобедренный с основанием \(AB\). Углы при основании равны:

\[\angle A = \angle ABC = 73^\circ.\]

Шаг 3. Сумма углов треугольника

\[\angle C = 180^\circ - 73^\circ - 73^\circ = 34^\circ.\]

Шаг 1. Разбиваем искомый угол диагональю

Диагональ \(BD\) проходит внутри угла \(ABC\) и делит его на две части:

\[\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC.\]

Первая часть дана и равна \(61^\circ\), вторую нужно найти.

Шаг 2. Два угла опираются на одну дугу

Углы \(CAD\) и \(CBD\) — вписанные, и оба опираются на дугу \(CD\): у первого вершина \(A\), у второго вершина \(B\), а хорда \(CD\) у них общая. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны:

\[\angle DBC = \angle CAD = 37^\circ.\]

Шаг 3. Складываем части

\[\angle ABC = 61^\circ + 37^\circ = 98^\circ.\]

Шаг 1. Выбираем общее основание

Возьмём за основание параллелограмма сторону \(AD\), и пусть \(h\) — расстояние от вершины \(B\) до прямой \(AD\). Тогда

\[S_{ABCD} = AD\cdot h = 60.\]

Шаг 2. Та же высота работает для треугольника

У треугольника \(ABE\) основание \(AE\) лежит на той же прямой \(AD\), а третья вершина — та же точка \(B\). Значит высота треугольника из вершины \(B\) — это то же самое расстояние \(h\). Точка \(E\) — середина \(AD\), поэтому \(AE = \dfrac{AD}{2}\), и

\[S_{ABE} = \dfrac12\,AE\cdot h = \dfrac12\cdot\dfrac{AD}{2}\cdot h = \dfrac14\,(AD\cdot h).\]

Шаг 3. Подставляем площадь параллелограмма

\[S_{ABE} = \dfrac14\cdot 60 = 15.\]

Шаг 1. Находим второй катет

Угол \(C\) прямой, поэтому \(AB\) — гипотенуза, а \(AC\) и \(BC\) — катеты. По теореме Пифагора

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15.\]

Шаг 2. Применяем определение косинуса

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. К углу \(A\) прилежит катет \(AC\), то есть тот, который выходит из вершины \(A\):

\[\cos A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{15}{25} = 0{,}6.\]

Шаг 1. Суммы противоположных сторон равны

В четырёхугольник вписана окружность, значит

\[AB + CD = BC + AD.\]

Шаг 2. Считаем периметр

\[AB + CD = 10 + 17 = 27,\qquad\text{следовательно}\qquad BC + AD = 27.\]

\[P = (AB + CD) + (BC + AD) = 27 + 27 = 54.\]

Шаг 1. Обе половинки угла A равны

\(AD\) — биссектриса, поэтому

\[\angle CAD = \angle BAD = 23^\circ.\]

Шаг 2. Внешний угол треугольника ADC

Угол \(ADB\) и угол \(ADC\) — смежные, то есть \(\angle ADB\) является внешним углом треугольника \(ADC\) при вершине \(D\). Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним:

\[\angle ADB = \angle C + \angle CAD = 32^\circ + 23^\circ = 55^\circ.\]