№4. Начала теории вероятностей

Шаг 1. Смотрим на соперника Бочкина

Исход здесь — то, кто достанется Бочкину в соперники. Сам с собой он не играет, поэтому соперником может стать любой из остальных:

\[n = 26 - 1 = 25.\]

Шаг 2. Сколько соперников нас устраивает

Россиян всего \(7\), но один из них — сам Бочкин, и его из этого числа надо убрать:

\[m = 7 - 1 = 6.\]

Это и есть главная ловушка задачи: если взять \(7\) и \(26\), ответ получится неверный.

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{6}{25} = \dfrac{24}{100} = 0{,}24.\]

Шаг 1. Все исходы

\[n = 10.\]

Шаг 2. Ищем простые числа

Простое число делится только на единицу и на само себя. Перебираем:

чётные \(30\), \(32\), \(34\), \(36\), \(38\) делятся на \(2\);

\(33\) и \(39\) делятся на \(3\);

\(35\) делится на \(5\).

Остаются \(31\) и \(37\) — они простые.

\[m = 2.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{2}{10} = 0{,}2.\]

Шаг 1. Переводим условие на язык промежутков

Отличаться от \(60\) мм не больше чем на \(0{,}01\) мм — значит попасть в промежуток от

\[60 - 0{,}01 = 59{,}99\ \text{мм}\quad\text{до}\quad 60 + 0{,}01 = 60{,}01\ \text{мм}.\]

Вероятность этого равна \(0{,}982\).

Шаг 2. Замечаем противоположное событие

Вопрос задачи — диаметр меньше \(59{,}99\) мм или больше \(60{,}01\) мм, то есть ровно то, что не попало в этот промежуток. Это противоположное событие.

Шаг 3. Вычитаем из единицы

\[P = 1 - 0{,}982 = 0{,}018.\]

Шаг 1. Почему номер места не важен

Порядок определяется жребием, поэтому на любом заранее названном месте — четвёртом, первом, последнем — с одинаковой вероятностью может оказаться любой из спортсменов:

\[n = 75.\]

Число спортсменов из Канады в решении не понадобится, оно дано как лишнее.

Шаг 2. Благоприятные исходы

\[m = 15.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{15}{75} = \dfrac15 = 0{,}2.\]

Шаг 1. Все исходы

Буквой \(О\) обозначим матч, который «Сапфир» начинает с мячом, буквой \(Р\) — остальные. За три матча

\[n = 2^3 = 8\]

равновозможных исходов.

Шаг 2. Что значит «не более одного раза»

Это значит ни одного раза или ровно один раз. Выписываем:

ни одного — \(РРР\);

ровно один — \(ОРР\), \(РОР\), \(РРО\).

\[m = 1 + 3 = 4.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac48 = 0{,}5.\]

Шаг 1. Сколько карточек стало

\[n = 22 + 3 = 25.\]

Шаг 2. Считаем чётные

Среди чисел от \(1\) до \(22\) чётных ровно половина — \(11\) штук. Из добавленных чётные \(40\) и \(44\), а \(47\) нечётное. Всего

\[m = 11 + 2 = 13.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{13}{25} = \dfrac{52}{100} = 0{,}52.\]