№20. Числа и их свойства

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?

в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Есть три коробки: в первой коробке 64 камня, во второй — 77, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 64 камня, во второй — 59, а в третьей — 18?

б) Мог ли в третьей коробке оказаться 141 камень?

в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло ока- заться в третьей коробке?

Из правильной несократимой дроби \(\dfrac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) — натуральные числа, за один ход получают дробь \(\dfrac{a+b}{2a+b}\).

а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби \(\dfrac{2}{3}\) получить дробь \(\dfrac{29}{41}\)?

б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь \(\dfrac{6}{7}\)?

в) Несократимая дробь \(\dfrac{c}{d}\) больше 0,7. Найдите наименьшую дробь \(\dfrac{c}{d}\), которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода.

Из пары натуральных чисел \((a;\ b)\), где \(a > b\), за один ход получают пару \((a+b;\ a-b)\).

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары \((100;\ 1)\) пару, большее число в которой равно 400?

б) Можно ли за несколько ходов получить из пары \((100;\ 1)\) пару \((806;\ 788)\)?

в) Какое наименьшее \(a\) может быть в паре \((a;\ b)\), из которой за несколько ходов можно получить пару \((806;\ 788)\)?

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314?

в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей.

а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей?

б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей?

в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 180 рублей включительно?