№20. Числа и их свойства

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №2 средний балл равнялся 42. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%.

а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?

б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2?

в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 1 и 6 (возможно, только одна из этих цифр).

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 173?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 109?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?

Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны 45.

а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205?

б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна \(S\).

а) Может ли \(S\) быть равной \(16\dfrac{5}{6}\)?

б) Может ли \(S\) быть равной \(369\dfrac{29}{126}\)?

в) Найдите наибольшее целое значение \(S\), если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?

б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?

Над парами целых чисел проводится операция: из пары \((a;\ b)\) получается пара \((3a+b;\ 3b-a)\).

а) Можно ли из какой-то пары получить пару \((5;\ 5)\)?

б) Верно ли, что если пара \((c;\ d)\) может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара \((-d;\ c)\) тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел \((a;\ b)\) и \((c;\ d)\) выражением \(|a-c|+|b-d|\). Найдите наименьшее расстояние от пары \((9;\ 2)\) до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.