№20. Числа и их свойства

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 60 и меньше 140.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?

в) Пусть \(B\) — шестое по величине число, а \(S\) — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения \(S - B\).

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 25% от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 20% от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60% от общей массы всех контейнеров?

в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?

б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1?

в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Ваня написал на доске трёхзначное число \(A\). Петя переписал это число \(A\), вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число \(B\). Коля тоже переписал это число \(A\), вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число \(C\).

а) Может ли быть верным равенство \(A = B \cdot C\), если \(A > 140\)?

б) Может ли быть верным равенство \(A = B \cdot C\), если \(440 \leq A < 500\)?

в) Найдите наибольшее число \(A\), меньшее 900, для которого может быть верным равенство \(A = B \cdot C\).

Для чисел \(A\) и \(B\), состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют \(S\) — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел \(A = 123\) и \(B = 579\) получается сумма \(S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 9 = 46\).

а) Существуют ли трёхзначные числа \(A\) и \(B\), для которых \(S = 100\)?

б) Существуют ли четырёхзначные числа \(A\) и \(B\), для которых \(S = 400\)?

в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой \(S\) для некоторых четырёхзначных чисел \(A\) и \(B\)?