№10. Задачи с прикладным содержанием

Два тела, массой \(m=6\) кг каждое, движутся одинаковой скоростью \(v=9 \mathrm{м} / \mathrm{с}\) под углом \(2 \alpha\) друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле

\[Q=m v^2 \sin ^2 \alpha,\]

где \(m\) - масса (в кг), \(v\) - скорость (в м/с). Найдите, под каким углом \(2 \alpha\) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 243 Дж. Ответ дайте в градусах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефа-на-Больцмана, согласно которому

\[P=\sigma S T^4\]

где \(P\) - мощность излучения звезды (в Вт), \(\sigma=5,7 \cdot 10^{-8} \dfrac{\text { Вт }}{\mathrm{M}^2 \cdot \mathrm{~K}^4}\) - постоянная, \(S\) площадь поверхности звезды (в \(\mathrm{M}^2\) ), а \(T\) - температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\dfrac{1}{2401} \cdot 10^{22} \mathrm{M}^2\), а мощность ее излучения равна \(5,7 \cdot 10^{26}\) Вт. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a\) (км/ч²). Скорость \(v\) (в км/ч) вычисляется по формуле

\[v=\sqrt{2 l a},\]

где \(l\) - пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1 км, приобрести скорость 120 км/ч. Ответ дайте в км/ч².

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону

\[h=1,6+13 t-5 t^2,\]

где \(h\) - высота в метрах, \(t\) - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 метров?

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0=60 \mathrm{км} / \mathrm{ч}\), выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a=18 \mathrm{км} / \mathrm{ч}^2\). Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле

\[s=v_0 t+\frac{a t^2}{2},\]

где \(t\) - время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 21 км. Ответ дайте в минутах.

Автомобиль, движущийся со скоростью \(v_0=24 \mathrm{м} / \mathrm{с}\), начал торможение с постоянным ускорением \(a=3 \mathrm{м} / \mathrm{с}^2\). За \(t\) секунд после начала торможения он прошёл путь (в м)

\[s=v_0 t-\frac{a t^2}{2}\]

Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.