№10. Задачи с прикладным содержанием

Водолазный колокол, содержащий \(\nu=2\) моль воздуха объёмом \(V_1=120\) л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \(V_2\) (в л). Работа \(A\) (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле

\[A=\alpha \nu T \log _2 \frac{V_1}{V_2}\]

где \(\alpha=8,7 \dfrac{\text { Дж }}{\text { моль } \cdot \text {К}}\) - постоянная, \(T=300 \mathrm{~K}\) - температура воздуха. Найдите, какой объем \(V_2\) будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 10440 Дж. Ответ дайте в литрах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса \(m\) (в мг) уменьшается по закону

\[m=m_0 \cdot 2^{-\dfrac{\tau}{T}},\]

где \(m_0\) - начальная масса изотопа (в мг), \(\tau\) - время, прошедшее от начального момента (в мин), \(T\) - период полураспада (в мин). В начальный момент времени масса изотопа 156 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 39 мг.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон

\[p V^k=c,\]

где \(p\) - давление в газе в паскалях, \(V\) - объём газа (в \(\mathrm{м}^3\) ), \(k=\frac{5}{3}\) и \(c=6,4 \cdot 10^6 П а \cdot \mathrm{м}^5\) - постоянные. Найдите, какой объём \(V\) (в \(\mathrm{м}^3\) ) будет занимать газ при давлении \(p\), равном \(2 \cdot 10^5\) Па.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a=3500 \text{км} / \text{ч}^2\). Скорость \(v(\) в км/ч) вычисляется по формуле

\[v=\sqrt{2 l a},\]

где \(l\) - пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 70 км/ч.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в K) от времени работы:

\[T=T_0+b t+a t^2,\]

где \(t\)-время (в мин.), \(T_0=1600 \mathrm{~K}, a=-5 \mathrm{~K} /\) мин \(^2, b=105 \mathrm{~K} /\) мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 K прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону

\[\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2},\]

где \(t\) - время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, \(\omega=15\) град/мин - начальная угловая скорость вращения катушки, а \(\beta=6\) град/мин \({ }^2\) - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки \(\varphi\) достиг \(2250^{\circ}\). Ответ дайте в минутах.