№2. Векторы

Шаг 1. Отсечённая фигура — призма

Основание — треугольник \(AMN\) на средней линии, высота та же, что у исходной призмы.

Шаг 2. Площадь основания

\[S_{AMN} = \dfrac14 S_{ABC}.\]

Шаг 3. Объём

\[V_{\text{отс}} = \dfrac{52}{4} = 13.\]

Шаг 1. Отсечённая призма

Основание — треугольник \(AMN\), где \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\); боковое ребро то же.

Шаг 2. Периметр

\[P_{AMN} = \dfrac12 P_{ABC}.\]

Шаг 3. Боковая поверхность

\[S_{\text{отс}} = \dfrac{24}{2} = 12.\]

Обратите внимание: площадь основания при этом уменьшилась бы в \(4\) раза, а боковая поверхность — только в \(2\), потому что зависит от периметра.

Шаг 1. Основание

Это треугольная пирамида с основанием \(ABC\) и вершиной \(B_1\). Угол \(B\) прямой:

\[S_{ABC} = \dfrac12\cdot 9\cdot 7 = 31{,}5.\]

Шаг 2. Высота

\[BB_1 = AA_1 = 6.\]

Шаг 3. Объём

\[V = \dfrac13\cdot 31{,}5\cdot 6 = 63.\]

Шаг 1. Отсечённая призма

Её основание — треугольник \(AMN\) на средней линии, боковое ребро то же, что у исходной призмы.

Шаг 2. Периметры

\[P_{AMN} = \dfrac12 P_{ABC}.\]

Шаг 3. Боковые поверхности

Боковая поверхность прямой призмы равна периметру основания, умноженному на боковое ребро, поэтому у отсечённой призмы она вдвое меньше:

\[S_{\text{исх}} = 2\cdot 36 = 72.\]

Шаг 1. Записываем объём первого

\[V_1 = \pi r^2 h = 15.\]

Шаг 2. Подставляем новые размеры

У второго радиус равен \(2r\), высота равна \(\dfrac{h}{3}\):

\[V_2 = \pi (2r)^2\cdot\dfrac{h}{3} = \pi\cdot 4r^2\cdot\dfrac{h}{3} = \dfrac43\,\pi r^2 h.\]

Шаг 3. Считаем

\[V_2 = \dfrac43\cdot 15 = 20.\]

Радиус входит в квадрате, поэтому его удвоение даёт множитель \(4\), а уменьшение высоты втрое — множитель \(\dfrac13\).

Шаг 1. У пирамид общая вершина и общая высота

Секущая плоскость проходит через вершину \(S\) и среднюю линию \(MN\) основания. Отсечённая пирамида — это \(SAMN\): её основание \(AMN\) лежит в той же плоскости, что и \(ABC\), а вершина та же. Значит высоты у пирамид одинаковые.

Шаг 2. Площадь нового основания

Треугольник \(AMN\) подобен \(ABC\) с коэффициентом \(\dfrac12\), поэтому

\[S_{AMN} = \dfrac14 S_{ABC}.\]

Шаг 3. Объём

\[V_{SAMN} = \dfrac14\cdot 44 = 11.\]