№7. Простейшие уравнения

Шаг 1. Приведём правую часть к основанию 3, учитывая \(9=3^{2}\):
\[9^{2x}=\left(3^{2}\right)^{2x}=3^{4x}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[3^{\,x+6}=3^{4x}.\]
Шаг 3. Основания равны, функция \(y=3^{t}\) монотонна, поэтому
\[x+6=4x.\]
Шаг 4. Решаем:
\[3x=6,\qquad x=2.\]

Шаг 1. ОДЗ: под логарифмом положительное число,
\[x-4>0,\qquad x>4.\]
Шаг 2. По определению логарифма
\[x-4=4^{3}=64.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=64+4=68.\]
Шаг 4. Проверка ОДЗ: \(68>4\) — корень подходит.

Шаг 1. Правая часть отлична от нуля, поэтому знаменатель заведомо не равен нулю, и
дробь можно «перевернуть»: если \(\dfrac1A=10\), то \(A=\dfrac1{10}\).
Шаг 2. Получаем
\[6x-8=\frac1{10}=0{,}1.\]
Шаг 3. Решаем линейное уравнение:
\[6x=8{,}1,\qquad x=1{,}35.\]

Шаг 1. Правая часть — степень того же основания \(\dfrac16\):
\[\frac{1}{36}=\left(\frac16\right)^{2}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[\left(\frac16\right)^{x-3}=\left(\frac16\right)^{2}.\]
Шаг 3. Функция \(y=\left(\frac16\right)^{t}\) убывает, то есть монотонна, поэтому
равенство степеней равносильно равенству показателей:
\[x-3=2.\]
Шаг 4. Отсюда
\[x=5.\]

Шаг 1. Перенесём всё в одну часть и применим формулу разности квадратов:
\[(x-10)^{2}-(x+14)^{2}=0,\]
\[\bigl((x-10)-(x+14)\bigr)\bigl((x-10)+(x+14)\bigr)=0.\]
Шаг 2. Упростим каждую скобку:
\[(-24)\cdot(2x+4)=0.\]
Шаг 3. Первый множитель в нуль не обращается, поэтому
\[2x+4=0,\qquad x=-2.\]

Шаг 1. Правая часть положительна, поэтому возведение в квадрат даёт равносильное
уравнение: подкоренное выражение автоматически окажется равным \(9>0\), то есть ОДЗ
выполнится само.
Шаг 2. Возводим обе части в квадрат:
\[44-5x=3^{2}=9.\]
Шаг 3. Решаем линейное уравнение:
\[5x=44-9=35,\qquad x=7.\]