№7. Простейшие уравнения

Шаг 1. Область допустимых значений: под знаком логарифма должно стоять положительное
число,
\[20-x>0,\qquad x<20.\]
Шаг 2. По определению логарифма \(\log_{5}a=2\) означает \(a=5^{2}\). Поэтому
\[20-x=5^{2}=25.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=20-25=-5.\]
Шаг 4. Проверим ОДЗ: \(-5<20\) — условие выполнено, корень подходит.

Шаг 1. Функция \(y=t^{3}\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому каждое значение
она принимает ровно один раз: из \(t^{3}=64\) следует единственное \(t=\sqrt[3]{64}=4\).
Шаг 2. Здесь \(t=x-13\), значит
\[x-13=4.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=13+4=17.\]

Шаг 1. Обозначаем события

\(A\) — жвачка закончится в первом автомате, \(B\) — во втором:

\[P(A) = P(B) = 0{,}4,\qquad P(A\cap B) = 0{,}2.\]

Шаг 2. Находим объединение

\[P(A\cup B) = 0{,}4 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}6.\]

Шаг 3. Переходим к противоположному событию

«Жвачка останется в обоих» означает, что не произошло ни \(A\), ни \(B\):

\[P = 1 - 0{,}6 = 0{,}4.\]

Шаг 1. Считаем через противоположное событие

Требование «цель уничтожена с вероятностью не менее \(0{,}8\)» равносильно требованию «вероятность промахнуться всеми выстрелами не больше \(0{,}2\)».

Шаг 2. Записываем вероятность промаха

Первый выстрел не уничтожает цель с вероятностью \(1 - 0{,}2 = 0{,}8\), каждый следующий — с вероятностью \(1 - 0{,}4 = 0{,}6\). Для \(n\) выстрелов

\[P(\text{цель цела}) = 0{,}8\cdot 0{,}6^{\,n-1}.\]

Шаг 3. Проверяем по шагам

\[n = 1:\ 0{,}8;\qquad n = 2:\ 0{,}8\cdot 0{,}6 = 0{,}48;\]
\[n = 3:\ 0{,}8\cdot 0{,}36 = 0{,}288;\qquad n = 4:\ 0{,}8\cdot 0{,}216 = 0{,}1728.\]

Впервые значение стало не больше \(0{,}2\) при \(n = 4\). Значит нужно \(4\) выстрела.

Шаг 1. Разбиваем покупку на два случая

Купленное стекло сделано либо на первой фабрике, либо на второй — третьего не дано. Это и есть два случая, которые надо разобрать.

Шаг 2. Считаем вероятность вдоль каждой ветви

Проценты переводим в вероятности и идём по ветви, перемножая:

стекло с первой фабрики и бракованное:

\[0{,}3\cdot 0{,}05 = 0{,}015;\]

стекло со второй фабрики и бракованное:

\[0{,}7\cdot 0{,}04 = 0{,}028.\]

Шаг 3. Складываем ветви

Эти два случая несовместны — стекло не может быть сделано сразу на двух фабриках, поэтому вероятности складываются:

\[P = 0{,}015 + 0{,}028 = 0{,}043.\]

Обратите внимание на ошибку, которую делают чаще всего: нельзя складывать \(0{,}05\) и \(0{,}04\) или брать их среднее. Доли брака нужно взвесить по объёмам выпуска.

Шаг 1. Свойство описанного четырёхугольника

Если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны:

\[AB + CD = BC + AD.\]

Шаг 2. Каждая сумма равна половине периметра

Периметр складывается из этих двух одинаковых сумм, поэтому

\[AB + CD = \dfrac{P}{2} = \dfrac{54}{2} = 27.\]

Шаг 3. Находим сторону

\[CD = 27 - AB = 27 - 18 = 9.\]