№7. Простейшие уравнения

Шаг 1. ОДЗ: под логарифмом должно стоять положительное число,
\[80-x>0,\qquad x<80.\]
Шаг 2. По определению логарифма
\[80-x=4^{3}=64.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=80-64=16.\]
Шаг 4. Проверка ОДЗ: \(16<80\) — корень подходит.

Шаг 1. Представим правую часть как степень шестёрки:
\[36=6^{2}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[6^{\,x-5}=6^{2}.\]
Шаг 3. Показательная функция \(y=6^{t}\) возрастает, поэтому равенство степеней с
одинаковым основанием равносильно равенству показателей:
\[x-5=2.\]
Шаг 4. Отсюда
\[x=7.\]

Шаг 1. Оба основания — степени двойки:
\[0{,}25=\frac14=2^{-2},\qquad 8=2^{3}.\]
Шаг 2. Перепишем обе части:
\[0{,}25^{\,x-4}=\left(2^{-2}\right)^{x-4}=2^{\,-2x+8},\qquad
8^{\,x+8}=\left(2^{3}\right)^{x+8}=2^{\,3x+24}.\]
Шаг 3. Уравнение принимает вид \(2^{\,-2x+8}=2^{\,3x+24}\), откуда
\[-2x+8=3x+24.\]
Шаг 4. Решаем:
\[-5x=16,\qquad x=-3{,}2.\]

Шаг 1. Правая часть — степень двойки: \(64=2^{6}\), поэтому
\[\frac{1}{64}=\frac{1}{2^{6}}=2^{-6}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[2^{\,x-11}=2^{-6}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[x-11=-6.\]
Шаг 4. Отсюда
\[x=5.\]

Шаг 1. Приведём обе части к основанию 6: \(36=6^{2}\) и \(\dfrac16=6^{-1}\). Тогда
\[36^{\,x-12}=\left(6^{2}\right)^{x-12}=6^{\,2x-24}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[6^{\,2x-24}=6^{-1}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[2x-24=-1.\]
Шаг 4. Отсюда
\[2x=23,\qquad x=11{,}5.\]

Шаг 1. Переведём смешанное число в неправильную дробь:
\[16\frac15=\frac{16\cdot5+1}{5}=\frac{81}{5}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[\frac15 x^{2}=\frac{81}{5}.\]
Шаг 3. Умножим обе части на 5:
\[x^{2}=81.\]
Шаг 4. Отсюда два корня:
\[x=9\quad\text{и}\quad x=-9.\]
Шаг 5. В ответе нужен больший корень:
\[x=9.\]