№7. Простейшие уравнения

Шаг 1. Запишем основание левой части как степень тройки:
\[\left(\frac13\right)^{3-x}=\left(3^{-1}\right)^{3-x}=3^{-(3-x)}=3^{\,x-3}.\]
Шаг 2. Правая часть: \(81=3^{4}\). Уравнение принимает вид
\[3^{\,x-3}=3^{4}.\]
Шаг 3. Основания одинаковы, функция \(y=3^{t}\) монотонна, поэтому приравниваем
показатели:
\[x-3=4.\]
Шаг 4. Отсюда
\[x=7.\]

Шаг 1. Кубический корень определён при любом значении подкоренного выражения, а функция
\(y=\sqrt[3]{t}\) возрастает. Поэтому возведение обеих частей в куб равносильно исходному
уравнению.
Шаг 2. Возводим в куб:
\[x-5=5^{3}=125.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=125+5=130.\]

Шаг 1. ОДЗ: выражение под логарифмом положительно,
\[4-x>0,\qquad x<4.\]
Шаг 2. По определению логарифма
\[4-x=7^{2}=49.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=4-49=-45.\]
Шаг 4. Проверка ОДЗ: \(-45<4\) — корень подходит.

Шаг 1. Переведём смешанное число в неправильную дробь:
\[21\frac35=\frac{21\cdot5+3}{5}=\frac{108}{5}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[-\frac45 x=\frac{108}{5}.\]
Шаг 3. Умножим обе части на 5:
\[-4x=108.\]
Шаг 4. Отсюда
\[x=-27.\]

Шаг 1. Правая часть — степень четвёрки: \(64=4^{3}\), поэтому
\[\frac{1}{64}=\frac{1}{4^{3}}=4^{-3}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[4^{\,x-7}=4^{-3}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[x-7=-3.\]
Шаг 4. Отсюда
\[x=4.\]

Шаг 1. Правая часть отлична от нуля, значит знаменатель заведомо не обращается в нуль, и
дробь можно «перевернуть»: из \(\dfrac1A=5\) следует \(A=\dfrac15\).
Шаг 2. Получаем
\[3x-4=\frac15=0{,}2.\]
Шаг 3. Решаем линейное уравнение:
\[3x=4{,}2,\qquad x=1{,}4.\]