Идея решения
Четыре точки \(B\), \(C\), \(B_1\), \(C_1\) лежат на одной окружности — значит, работает свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Отсюда получится равенство углов и подобие. А радиус окружности найдём через хорду \(BB_1\) и вписанный угол, который на неё опирается.
Пункт а). Шаг 1. Что дано на рисунке
Точка \(C_1\) лежит на стороне \(AB\), точка \(B_1\) — на стороне \(AC\), и все четыре точки \(B\), \(C\), \(B_1\), \(C_1\) лежат на одной окружности. Значит, \(BCB_1C_1\) — вписанный четырёхугольник.
Шаг 2. Равенство углов
У вписанного четырёхугольника \(BCB_1C_1\) углы при вершинах \(B\) и \(B_1\) — противоположные, поэтому
\[\angle C_1BC + \angle C_1B_1C = 180^\circ.\]
Угол \(\angle AB_1C_1\) — смежный с углом \(\angle C_1B_1C\) (точка \(B_1\) лежит между \(A\) и \(C\)), поэтому
\[\angle AB_1C_1 = 180^\circ - \angle C_1B_1C.\]
Сравнивая два равенства, получаем
\[\angle AB_1C_1 = \angle C_1BC = \angle ABC.\]
Шаг 3. Подобие
В треугольниках \(AB_1C_1\) и \(ABC\):
угол \(A\) — общий;
\(\angle AB_1C_1 = \angle ABC\) (шаг 2).
Значит, треугольники подобны по двум углам:
\[\triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC.\]
Важно! Следите за порядком вершин: \(A \leftrightarrow A\), \(B_1 \leftrightarrow B\), \(C_1 \leftrightarrow C\). Точка \(B_1\) лежит на стороне \(AC\), но соответствует она вершине \(B\), а не \(C\). Если перепутать, все дальнейшие отношения сторон будут неверными.
Шаг 4. Коэффициент подобия через площади
Обозначим коэффициент подобия
\[k = \frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC}.\]
У подобных треугольников площади относятся как квадрат коэффициента:
\[\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2.\]
Четырёхугольник \(BCB_1C_1\) — это треугольник \(ABC\) без треугольника \(AB_1C_1\):
\[S_{ABC} = S_{AB_1C_1} + S_{BCB_1C_1}.\]
По условию \(S_{BCB_1C_1} = 4\,S_{AB_1C_1}\), поэтому
\[S_{ABC} = S_{AB_1C_1} + 4\,S_{AB_1C_1} = 5\,S_{AB_1C_1},\]
\[k^2 = \frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{1}{5},\qquad k = \frac{1}{\sqrt5}.\]
Важно! «В четыре раз меньше» — это сравнение с четырёхугольником, а не с треугольником \(ABC\). Сначала соберите площадь всего треугольника: она в \(5\) раз больше маленького. Это самая частая ошибка в таком пункте.
Шаг 5. Находим сторону \(B_1C_1\)
Из коэффициента подобия \(k = \dfrac{B_1C_1}{BC}\) получаем
\[B_1C_1 = k\cdot BC = \frac{5\sqrt5}{\sqrt5} = 5.\]
Шаг 6. Хорда \(BB_1\)
Теперь радиус. Возьмём хорду \(BB_1\) данной окружности: точки \(B\) и \(B_1\) на ней лежат.
Из подобия \(AB_1 = k\cdot AB\). В треугольнике \(ABB_1\) известны две стороны \(AB\) и \(AB_1 = k\cdot AB\) и угол \(A\) между ними. По теореме косинусов
\[BB_1^2 = AB^2 + k^2AB^2 -\]
\[-\ 2\cdot AB\cdot kAB\cos A,\]
\[BB_1 = AB\sqrt{1 + k^2 - 2k\cos A}.\]
Шаг 7. Вписанный угол, опирающийся на \(BB_1\)
Точка \(C\) лежит на той же окружности, поэтому \(\angle BCB_1\) — вписанный угол, опирающийся на хорду \(BB_1\). А так как \(B_1\) лежит на отрезке \(AC\), этот угол совпадает с углом \(C\) треугольника \(ABC\):
\[\angle BCB_1 = \angle BCA = \gamma.\]
По теореме синусов для окружности радиуса \(R\)
\[BB_1 = 2R\sin\gamma,\qquad 2R = \frac{BB_1}{\sin\gamma}.\]
Важно! Здесь \(R\) — радиус данной окружности (через \(B\), \(C\), \(B_1\), \(C_1\)), а не описанной около \(ABC\). Это разные окружности, не путайте их.
Шаг 8. Убираем неизвестный угол \(\gamma\)
Угол \(\gamma\) нам не дан, но его можно убрать. По теореме синусов в треугольнике \(ABC\)
\[\frac{AB}{\sin\gamma} = \frac{BC}{\sin A}.\]
Подставим \(BB_1 = AB\sqrt{1+k^2-2k\cos A}\):
\[2R = \frac{AB}{\sin\gamma}\sqrt{1+k^2-2k\cos A},\]
\[2R = \frac{BC}{\sin A}\sqrt{1+k^2-2k\cos A}.\]
Все величины справа известны.
Шаг 9. Считаем радиус
Подставляем \(A = 150^\circ\), \(k = \dfrac{1}{\sqrt5}\), \(BC = 5\sqrt5\). Угол тупой, поэтому \(\cos 150^\circ = -\dfrac{\sqrt3}{2}\) — отрицательный.
Подкоренное выражение:
\[1 + k^2 - 2k\cos 150^\circ =\]
\[= 1 + \frac15 + 2\cdot\frac{1}{\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\]
\[= \frac65 + \frac{\sqrt3}{\sqrt5} = \frac{6 + \sqrt{15}}{5}.\]
Теперь радиус (\(\sin 150^\circ = \frac12\)):
\[2R = \frac{5\sqrt5}{\tfrac12}\cdot\sqrt{\frac{6+\sqrt{15}}{5}} =\]
\[= 10\sqrt5\cdot\frac{\sqrt{6+\sqrt{15}}}{\sqrt5} =\]
\[= 10\sqrt{6+\sqrt{15}},\]
\[R = 5\sqrt{6+\sqrt{15}}.\]
Важно! Дробь \(\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5}\) приводим к одному корню: \(\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5} = \dfrac{\sqrt{15}}{5}\). Тогда всё выражение собирается в одну дробь со знаменателем 5.
Ответ по пунктам
\(B_1C_1 = 5\), \(R = 5\sqrt{6+\sqrt{15}}\).
Ответ: б) \(B_1C_1 = 5\), \(R = 5\sqrt{6+\sqrt{15}}\)
