Вычисления с логарифмами
Вычисления с логарифмами
Что такое логарифм?
Рассмотрим показательное уравнение: \(2^x=4\). Очевидно, что \(x=2\). И также решением уравнения \(2^x=8\), будет \(x=3\).
Но что делать, если нужно решить уравнение \(2^x=7\)? Ведь нельзя подобрать целое значение \(x\), удовлетворяющее уравнению. Поэтому была введена такая функция как логарифм. Логарифм - это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. В функции логарифма \(\log_a b=c\) основание обозначено как \(a\), аргумент как \(b\), а сам логарифм, то есть показатель степени, как \(c\).
То есть решением данного уравнения является значение \(x=\log_2 7\), читается как «логарифм 7 по основанию 2» и обозначает, что двойку из уравнения нужно возвести в эту степень, чтобы получить семёрку. Верна запись: \(a^c=b \Leftrightarrow \log_a b=c\). Решения первых двух уравнений тоже можно было записать в виде логарифмов как \(\log_2 4=2\) и \(\log_2 8=3\).
Подробнее рассмотрим запись \(a^c=b \Leftrightarrow \log_a b=c\). Правая часть читается как «логарифм \(b\) по основанию \(a\) равен \(c\)». И это обозначает следующее: \(c=\log_a b\) - это степень, в которую надо возвести основание \(a\), чтобы получить аргумент \(b\).
Рассмотрим несколько примеров вычисления простейших логарифмов:
\(\log _3 9=2, \hspace{2mm}\) \(\log _5 5=1, \hspace{2mm}\) \(\log _9 1=0, \hspace{2mm}\) \(\log _{\frac{1}{5}}{\frac{1}{25}}=2, \hspace{2mm}\) \(\log _{\frac{1}{4}} 16=-2, \hspace{2mm}\) \(\log _9 3=\frac{1}{2}, \hspace{2mm}\) \(\log _2 \frac{1}{8}=-3, \hspace{2mm}\) \(\log _7 1=0\)
Вернёмся к записи. Слева находится показательная функция, которая всегда принимает только положительные значения, а значит \(b>0\). Поэтому, если у нас есть логарифм, то его аргумент должен быть строго положительным. И также по определению показательной функции должно выполняться \(a>0\) и \(a\neq1\). И действительно, если мы будет единицу возводить в любую степень, то всегда будет получаться единица, так что такой логарифм не имеет смысла. Итого: если у нас появился \(\log_a b\), то необходимо потребовать выполнения следующей системы:
\(\left\{
\begin{gathered}
b>0\hfill\\
a>0\hfill\\
a\neq1\hfill
\end{gathered}
\right.\)
Также существует «десятичный логарифм» - логарифм по основанию 10. Он записывается как \(\lg a\) и обозначает \(\log_{10} a\). И «натуральный логарифм» - логарифм по основанию \(e\). Он записывается как \(\ln a\) и обозначает \(\log_e a\).
\(\lg 100=2, \quad\) \(\lg 1000=3, \quad\) \(\lg 10^{7}=7, \quad\) \(\lg 0,1=-1, \quad\) \(\lg 0,01=-2, \quad\) \(\ln e^4=4\).
Основное логарифмическое тождество
Вернёмся к записи \(a^c=b \Leftrightarrow \log_a b=c\) и подставим \(\log_a b\) вместо \(c\) в первое равенство. Тогда получим \(a^{\log_a b}=b\). Иначе говоря, если мы возведём \(a\) в степень \(\log_a b\) (а это та степень, в которую нужно возвести \(a\), чтобы получит \(b\)), то как раз-таки и получим \(b\). Равенство \(a^{\log_a b}=b\) и называется основным логарифмическим тождеством.
\(2^{\log _2 7}=7, \quad 13^{\log _{13} 5}=5, \quad 10^{\lg 21}=21\).
Таким образом мы можем любое число представлять в виде степени с нужным основанием.
Свойства логарифмов
Рассмотрим несколько свойств, необходимых для дальнейших вычислений.
1. \(\log_a a=1\)
Пример: \(\log_{115} 115=1\)
2. \(\log_a 1=0\)
Пример: \(\log_{586} 1=0\)
Первые два свойства должны быть понятны. Действительно, чтобы получить основание, которое равно аргументу, надо его возвести в первую степень. А для того, чтобы получить единицу, нужно основание возвести в нулевую степень, ведь \(a^0=1\).
3. \(\log_a b+\log_a c=\log_a{(bc)}\)
Пример: \(\log_5 4+\log_5 3=\log_5 {(4\cdot3)}=\log_5 12\)
4. \(\log_a b-\log_a c=\log_a{\frac{b}{c}}\)
Пример: \(\log_5 80+\log_5 16=\log_5 \frac{80}{16}=\log_5 5=1\)
5. \(\log_a b^m=m\log_a b\)
Пример: \(\log_4 {4^5}=5\log_4 4=5\)
6. \(\log_{a^n} b=\dfrac{1}{n}\log_a b\)
Пример: \(\log_{3^8} 3=\dfrac{1}{8}\log_3 3=\dfrac{1}{8}=0,125\)
В пятом свойстве \(m\) - любое число, а в шестом свойстве \(n\) - любое число, не равное нулю. То есть из аргумента логарифма мы можем вынести степень перед логарифмов без изменений, а, вынося степень из основания логарифма, её нужно перевернуть. Обратите внимание, что просто так применять данные свойства можно только при работе с числами. Если у нас появляется переменная, то нельзя просто так выносить степени.
7. \(\log_{a^n} b^m=\dfrac{m}{n}\log_a b\)
Пример: \(\log_4 27=\log_{2^2} 3^3=\dfrac{3}{2}\log_2 3\)
8. \(\log_{a^n} b^n=\dfrac{n}{n}\log_a b=\log_a b\)
Пример: \(\log_4 25=\log_{2^2} 5^2=\log_2 5\)
Седьмая формула является комбинацией 5-ой и 6-ой, а восьмая - частный случай 7-ой при \(m=n\).
9. \(\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)
Пример: \(\dfrac{\log_3 13}{\log_3 169}=\log_{169} 13=\dfrac{1}{2}=0,5\)
10. \(\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}\)
Пример: \(\log_4 2=\dfrac{1}{\log_2 4}=\dfrac{1}{2}=0,5\)
Девятая формула - это переход к новому основанию \(c\) (\(c>0\) и \(c\neq1\)). Десятая формула - это частный случай 9-ой при \(b=c\), ведь тогда в числителе будет \(\log_b b=1\), а в знаменателе \(\log_c a=\log_b a\). То есть мы просто переворачиваем логарифм, меняя в нём основание и аргумент местами.
11. \(a^{\log_c b}=b^{\log_c a}\)
Пример: \(5^{\log_{25} 4}=4^{\log_{25} 5}=4^\frac{1}{2}=\sqrt{4}=2\)
Иначе говоря, если число возводится в степень логарифма, то основание степени и аргумент логарифма можно поменять местами.
12. \(\log_a b\cdot\log_c d=\log_c b\cdot\log_a d\)
Пример: \(\log_3 7\cdot\log_7 9=\log_7 7\cdot\log_3 9=2\)
13. \(\log_a b\cdot\log_b a=1\)
Пример: \(\log_3 4\cdot\log_4 3=\log_3 3\cdot\log_4 4=1\)
Двенадцатое свойство показывает, что при умножение логарифмов мы можем поменять у них основания (или аргументы) местами. Тринадцатое - его частный случай.
Примеры
А теперь, применяя необходимые свойства, потренируемся производить различные вычисления с логарифмами.
1) \(9^{\log _3 7}=\) \(\left(3^2\right)^{\log _3 7}=\) \(3^{2 \log _3 7}=\) \(\left(3^{\log _3 7}\right)^2=\) \(7^2=49\)
2) \(\log _5 50+\log _5 \frac{1}{2}=\) \(\log _5\left(50 \cdot \frac{1}{2}\right)=\) \(\log _5 25=2\)
3) \(3 \log _3 2-\log _3 72=\) \(\log _3 2^3-\log _3 72=\) \(\log _3 8-\log _3 72=\) \(\log _3 \frac{8}{72}=\) \(\log _3 \frac{1}{9}=-2\)
4) \(\dfrac{\log _3 5}{\log _3 7}+\log _7 0,2=\) \(\log _7 5+\log _7 0,2=\) \(\log _7(5 \cdot 0,2)=\) \(\log _7 1=0\)
5) \(6 \cdot \log _7 \sqrt[3]{7}=\) \(6 \cdot \log _7 7^{\frac{1}{3}}=\) \(6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \log _7 7=2\)
6) \(5^{\log _{25} 49}=\) \(5^{\log _{5^2} 7^2}=\) \(5^{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \log _5 7}=\) \(5^{\log _5 7}=7\)
7) \(\log _{9 \sqrt[6]{3}}\left(27 \sqrt[6]{3}\right)=\) \(\dfrac{\log _3\left(27 \sqrt[6]{3}\right)}{\log _3\left(9 \sqrt[6]{3}\right)}=\) \(\dfrac{\log _3 27+\log _3 3^{\frac{1}{6}}}{\log _3 9+\log _3 3^{\frac{1}{6}}}=\) \(\dfrac{3+\frac{1}{6}}{2+\frac{1}{6}}=\) \(\dfrac{19}{13}\)
8) \(5^{2+\log _5 3}=\) \(5^2 \cdot 5^{\log_5 3}=\) \(25\cdot3=75\)
9) \(5^{-4 \log _5 3}=\) \(5^{\log_5 3^{-4}}=\) \(3^{-4}=\) \(\dfrac{1}{3^4}=\) \(\dfrac{1}{81}\)
10) \(\lg 34-\lg 2-\lg 170=\) \(\lg \frac{34}{2}-\lg 170=\) \(\lg17-\lg170=\) \(\lg \frac{17}{170}=\) \(\lg\frac{1}{10}=-1\)
11) \(\dfrac{\lg 8+\lg 18}{2 \lg 2+\lg 3}=\) \(\dfrac{\lg{(8\cdot18)}}{\lg{2^2}+\lg3}=\) \(\dfrac{\lg144}{\lg4+\lg3}=\) \(\dfrac{\lg144}{\lg{(4\cdot3)}}=\) \(\dfrac{\lg144}{\lg12}=\) \(\log_{12} 144=2\)
12) \(\log _{2 \sqrt{2}} 128=\) \(\log_{2^1\cdot2^{\frac{1}{2}}} 128=\) \(\log_{2^\frac{3}{2}} 128=\) \(\dfrac{2}{3}\log_2 128=\) \(\dfrac{2}{3} \cdot7=\dfrac{14}{3}\)
13) \(5^{\log _{\sqrt{5}} 4-\log _5 2+2 \log _{25} 3}=\) \(5^{\log_{\sqrt{5}} 4} : 5^{\log_5 2} \cdot 5^{2\log_{25} 3}=\) \(5^{\log_{5^{\frac{1}{2}}} 4} : 2 \cdot 5^{2\log_{5^2} 3}=\) \(5^{2\log_5 4} : 2 \cdot 5^{2\cdot\frac{1}{2}\log_5 3}=\) \(5^{\log_5 16} : 2 \cdot 5^{\log_5 3}=\) \(16 : 2 \cdot 3=24\)
14) \(7^{\frac{\lg \lg 2}{\lg 7}}=\) \(7^{\log_7 {\lg2}}=\lg2\)
15) \(\sqrt{\log _2^2 3+1-\log _2 9}-\log _2\left(12 \sqrt{2}\right)\) --- решим этот пример по действиям
I) \(\sqrt{\log _2^2 3+1-\log _2 9}=\) \(\sqrt{\log _2^2 3-\log _2 3^2+1}=\) \(\sqrt{\log _2^2 3-2\log _2 3+1}=\) \(\sqrt{(\log_2 3-1)^2}=\) \(|\log_2 3-1|=\) \(\log_2 3-1\)
II) \(\log _2\left(12 \sqrt{2}\right)=\) \(\log _2 12+\log_2 \sqrt{2}=\) \(\log _2 {(3\cdot4)}+\dfrac{1}{2}=\) \(\log _2 3+\log_2 4+\dfrac{1}{2}=\) \(\log _2 3+2+\dfrac{1}{2}=\) \(\log_2 3+2,5\)
III) \(\sqrt{\log _2^2 3+1-\log _2 9}-\log _2\left(12 \sqrt{2}\right)=\) \(\log_2 3-1-(\log_2 3+2,5)=\) \(\log_2 3-1-\log_2 3-2,5=\) \(-1-2,5=-3,5\)
16) \(\log _2 \log _2 \sqrt{\sqrt[4]{2}}=\) \(\log_2 \log_2 \left(\sqrt[4]{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\) \(\log_2 \log_ 2 {2^{\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}}}=\) \(\log_2 \log_2 2^{\frac{1}{8}}=\) \(\log_2 \frac{1}{8}=-3\)
17) \(\dfrac{81^{\frac{1}{\log _5 9}}+3^{\frac{3}{\log _{\sqrt{6}} 3}}}{409}\left(\left(\sqrt{7}\right)^{\frac{2}{\log _{25} 7}}-125^{\log _{25} 6}\right)\) --- решим этот пример по действиям
I) \(81^{\frac{1}{\log_5 9}}=\) \(81^{\log_9 5}=\) \(\left(9^2\right)^{\log_9 5}=\) \(9^{2\cdot\log_9 5}=\) \(9^{\log_9 25}=25\)
II) \(3^{\frac{3}{\log_{\sqrt{6}} 3}}=\) \(3^{3\cdot\log_3 \sqrt{6}}=\) \(3^{\log_3 {\left(\sqrt{6}\right)^3}}=\) \(\left(\sqrt{6}\right)^3=\) \(6\sqrt{6}\)
III) \(\left(\sqrt{7}\right)^{\frac{2}{\log_{25} 7}}=\) \(\left(\sqrt{7}\right)^{2\cdot\log_7 25}=\) \(\left(7^\frac{1}{2}\right)^{2\cdot\log_7 25}=\) \(7^{\log_7 25}=25\)
IV) \(125^{\log_{25} 6}=\) \(\left(5^3\right)^{\log_{5^2} 6}=\) \(5^{3\cdot\frac{1}{2}\cdot\log_5 6}=\) \(5^{\frac{3}{2}\log_5 6}=\) \(5^{\log_5 {6^{\frac{3}{2}}}}=\) \(6^\frac{3}{2}=\) \(\sqrt{6^3}=6\sqrt{6}\)
V) \(\dfrac{81^{\frac{1}{\log _5 9}}+3^{\frac{3}{\log _{\sqrt{6}} 3}}}{409}\left(\left(\sqrt{7}\right)^{\frac{2}{\log _{25} 7}}-125^{\log _{25} 6}\right)=\) \(\dfrac{25+6\sqrt{6}}{409}\left(25-6\sqrt{6}\right)=\) \(\dfrac{1}{409}\left(25+6\sqrt{6}\right)\left(25-6\sqrt{6}\right)=\) \(\dfrac{1}{409}\left(25^2-(6\sqrt{6})^2\right)=\) \(\dfrac{625-216}{409}=\) \(\dfrac{409}{409}=1\)
18) \(\log _3 12-\log _3 7 \cdot \log _7 5 \cdot \log _5 4=\) \(\log_3 12-\log_7 7\cdot\log_3 5\cdot\log_5 4=\) \(\log_3 12-\log_3 5\cdot\log_5 4=\) \(\log_3 12-\log_5 5\cdot\log_3 4=\) \(\log_3 12-\log_3 4=\) \(\log_3 \frac{12}{4}=\) \(\log_3 3=1\)
Примеры для самопроверки
Вычислите:
1) \(\log _2 128\)
2) \(\log _{13} 1\)
3) \(\log _3 \frac{1}{27}\)
4) \(\log _{64} 4\)
5) \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}\)
6) \(\log _5 0,04\)
7) \(\lg 0,001\)
8) \(\log _{\sqrt{2}} 8\)
9) \(\log _{0,5} 4\)
10) \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\log _{\frac{1}{3}} 5}\)
11) \(10^{\lg \pi}\)
12) \(10^{1-\lg 5}\)
13) \(6^{\log _6 3+\log _6 5}\)
14) \(\log _3 5-\log _3 \frac{5}{27}\)
15) \(\log _{12} 2+\log _{12} 8+\log _{12} 9\)
16) \(\log _{36} 84-\log _{36} 14\)
17) \(\dfrac{\log _{\frac{1}{2}} 5}{\log _{\frac{1}{2}} 625}\)
18) \(\log _{\sqrt{3}} \sqrt{18}-\log _3 2\)
19) \(27^{-\frac{1}{3} \log _3 \frac{1}{2}-\log _{27} 2}\)
20) \(15 \log _{\frac{1}{7}}\left(\sqrt[5]{7} \cdot \frac{1}{49} \cdot 5^{\log _{\sqrt{5}} \sqrt[3]{49}}\right)\)
21) \(\dfrac{\log _2 40}{\lg 2}-\dfrac{\log _2 5}{\log _{80} 2}\)
22) \(4^{3-\log _5 10} \cdot 4^{\log _5 2}\)
23) \(81^{\frac{1}{\log _5 3}}+27^{\log _9 36}+3^{\frac{4}{\log _7 9}}\)
24) \(\log _3 \log _3 \sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}\)
25) \(\dfrac{\left(2^{\frac{1}{\log _2 3}}+5^{\log _{25} 49}\right)\left(81^{\frac{1}{\log _4 9}}-8^{\log _4 9}\right)}{3+5^{\frac{1}{\log_{16} 25}} \cdot 5^{\log _5 3}}\)
26) \(\log _{15} 20 \cdot \log _{16} 15 \cdot \log _{17} 16 \cdot \log _{18} 17 \cdot \log _{19} 18 \cdot \log _{20} 19\)
Ответы
1) 7
2) 0
3) -3
4) \(\dfrac{1}{3}\)
5) 3
6) -2
7) -3
8) 6
9) -2
10) 5
11) \(\pi\)
12) 2
13) 15
14) 3
15) 2
16) \(\dfrac{1}{2}\)
17) \(\dfrac{1}{4}\)
18) 2
19) 1
20) 7
21) 3
22) 16
23) 890
24) -2
25) -11
26) 1