Определение логарифма и условия существования
По определению
\(\boxed{\log_a b=c \iff a^c=b}.\)
Логарифм \(\log_a b\) существует, если
\(\boxed{a>0,\ a\neq1,\ b>0}\).
То есть аргумент логарифма должен быть строго положительным, а основание — положительным и не равным единице.
Примеры:
\(\log_3 9=2,\) \(\log_5 5=1,\) \(\log_9 1=0,\)
\(\log_{\dfrac15}\dfrac1{25}=2,\) \(\log_{\dfrac14}16=-2,\) \(\log_9 3=\dfrac12,\) \(\log_2\dfrac18=-3.\)
Десятичный логарифм: \(\lg x=\log_{10}x.\)
Натуральный логарифм: \(\ln x=\log_e x.\)
Например, \(\lg100=2,\) \(\lg0{,}01=-2,\) \(\ln e^4=4.\)
Основное логарифмическое тождество
Из определения логарифма сразу следует
\(\boxed{a^{\log_a b}=b}.\)
Например, \(2^{\log_2 7}=7,\) \(13^{\log_{13}5}=5,\) \(10^{\lg21}=21.\)
Это тождество особенно полезно в выражениях, где логарифм находится в показателе степени.
Основные свойства логарифмов
Во всех формулах ниже предполагается, что логарифмы определены.
Базовые значения
\(\boxed{\log_a a=1},\) \(\boxed{\log_a1=0}.\)
Сумма и разность
\(\boxed{\log_a b+\log_a c=\log_a(bc)},\)
\(\boxed{\log_a b-\log_a c=\log_a\dfrac bc}.\)
Например,
\(\log_5 4+\log_5 3=\log_5 12,\)
\(\log_5 80-\log_5 16=\log_5 5=1.\)
Степень в аргументе и основании
\(\boxed{\log_a b^m=m\log_a b},\)
\(\boxed{\log_{a^n}b=\dfrac1n\log_a b},\) \(n\neq0.\)
Следовательно,
\(\boxed{\log_{a^n}b^m=\dfrac mn\log_a b}.\)
В частности,
\(\boxed{\log_{a^n}b^n=\log_a b}.\)
Примеры:
\(\log_4 4^5=5,\)
\(\log_{3^8}3=\dfrac18,\)
\(\log_4 27
=
\log_{2^2}3^3
=
\dfrac32\log_2 3,\)
\(\log_4 25=\log_2 5.\)
Если в аргументе или основании есть переменная, применять эти преобразования нужно только после проверки условий, при которых все появившиеся логарифмы определены.
Переход к новому основанию
Для любого допустимого основания \(c\):
\(\boxed{
\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}
}.\)
Частный случай:
\(\boxed{
\log_a b=\dfrac1{\log_b a}
}.\)
Например,
\(\dfrac{\log_3 13}{\log_3 169}
=
\log_{169}13
=
\dfrac12.\)
Полезные следствия
\(\boxed{
a^{\log_c b}=b^{\log_c a}
}.\)
То есть основание степени и аргумент логарифма можно поменять местами:
\(5^{\log_{25}4}
=
4^{\log_{25}5}
=
4^{1/2}
=
2.\)
При умножении логарифмов:
\(\boxed{
\log_a b\cdot\log_c d
=
\log_c b\cdot\log_a d
}.\)
В частности,
\(\boxed{
\log_a b\cdot\log_b a=1
}.\)
Например,
\(\log_3 7\cdot\log_7 9=2,\)
\(\log_3 4\cdot\log_4 3=1.\)
Вычисления с логарифмами
Пример 1
\(9^{\log_3 7}
=
(3^2)^{\log_3 7}
=
3^{2\log_3 7}
=
7^2
=
49.\)
Пример 2
\(\log_5 50+\log_5\dfrac12
=
\log_5 25
=
2.\)
Пример 3
\(3\log_3 2-\log_3 72
=
\log_3 8-\log_3 72
=
\log_3\dfrac19
=
-2.\)
Пример 4
\(\dfrac{\log_3 5}{\log_3 7}+\log_7 0{,}2
=
\log_7 5+\log_7 0{,}2
=
\log_7 1
=
0.\)
Пример 5
\(6\log_7\sqrt[3]{7}
=
6\log_7 7^{1/3}
=
6\cdot\dfrac13
=
2.\)
Пример 6
\(5^{\log_{25}49}
=
5^{\log_{5^2}7^2}
=
5^{\log_5 7}
=
7.\)
Пример 7
\(\log_{9\sqrt[6]{3}}\left(27\sqrt[6]{3}\right)
=
\dfrac{
\log_3\left(27\sqrt[6]{3}\right)
}{
\log_3\left(9\sqrt[6]{3}\right)
}
=
\dfrac{3+\dfrac16}{2+\dfrac16}
=
\dfrac{19}{13}.\)
Пример 8
\(5^{2+\log_5 3}
=
5^2\cdot5^{\log_5 3}
=
25\cdot3
=
75.\)
Пример 9
\(5^{-4\log_5 3}
=
5^{\log_5 3^{-4}}
=
3^{-4}
=
\dfrac1{81}.\)
Пример 10
\(\lg34-\lg2-\lg170
=
\lg\dfrac{34}{2}
-
\lg170
=
\lg\dfrac{17}{170}
=
-1.\)
Пример 11
\(\dfrac{\lg8+\lg18}{2\lg2+\lg3}
=
\dfrac{\lg144}{\lg4+\lg3}
=
\dfrac{\lg144}{\lg12}
=
\log_{12}144
=
2.\)
Пример 12
\(\log_{2\sqrt2}128
=
\log_{2^{3/2}}128
=
\dfrac23\log_2 128
=
\dfrac{14}{3}.\)
Пример 13
\(5^{\log_{\sqrt5}4-\log_5 2+2\log_{25}3}
=
5^{2\log_5 4-\log_5 2+\log_5 3}
=
5^{\log_5 24}
=
24.\)
Пример 14
\(7^{\dfrac{\lg\lg2}{\lg7}}
=
7^{\log_7(\lg2)}
=
\lg2.\)
Пример 15
Вычислим:
\(\sqrt{\log_2^2 3+1-\log_2 9}
-
\log_2(12\sqrt2).\)
Первая часть:
\(\sqrt{\log_2^2 3-2\log_2 3+1}
=
\sqrt{(\log_2 3-1)^2}
=
|\log_2 3-1|.\)
Так как \(\log_2 3>1,\) то \(|\log_2 3-1|=\log_2 3-1.\)
Вторая часть:
\(\log_2(12\sqrt2)
=
\log_2 3+2+\dfrac12
=
\log_2 3+\dfrac52.\)
Следовательно,
\(\log_2 3-1-\left(\log_2 3+\dfrac52\right)
=
-\dfrac72.\)
Пример 16
\(\log_2\log_2\sqrt{\sqrt[4]{2}}
=
\log_2\log_2 2^{1/8}
=
\log_2\dfrac18
=
-3.\)
Пример 17
Вычислим:
\(\dfrac{
81^{\dfrac1{\log_5 9}}
+
3^{\dfrac3{\log_{\sqrt6}3}}
}{409}
\left(
(\sqrt7)^{\dfrac2{\log_{25}7}}
-
125^{\log_{25}6}
\right).\)
Имеем:
\(81^{\dfrac1{\log_5 9}}
=
81^{\log_9 5}
=
25,\)
\(3^{\dfrac3{\log_{\sqrt6}3}}
=
3^{3\log_3\sqrt6}
=
6\sqrt6,\)
\((\sqrt7)^{\dfrac2{\log_{25}7}}
=
25,\)
\(125^{\log_{25}6}
=
6\sqrt6.\)
Поэтому
\(\dfrac{25+6\sqrt6}{409}(25-6\sqrt6)
=
\dfrac{625-216}{409}
=
1.\)
Пример 18
\(\log_3 12
-
\log_3 7\cdot\log_7 5\cdot\log_5 4
=
\log_3 12-\log_3 4
=
1.\)
Типичные ошибки
• Пишут неверное равенство \(\log_a(b+c)=\log_a b+\log_a c.\) Такого свойства нет.
• Используют свойства логарифмов, не проверив, что все участвующие логарифмы определены.
• При выражениях с переменной забывают, что аргумент логарифма должен быть положительным, а основание — положительным и не равным единице.
• Выносят степень из выражения с переменной так, будто знак переменной уже известен.
Задачи для самостоятельной работы
Вычислите:
1. \(\log_2 128\).
2. \(\log_{13}1\).
3. \(\log_3\dfrac1{27}\).
4. \(\log_{64}4\).
5. \(\log_{\dfrac12}\dfrac18\).
6. \(\log_5 0{,}04\).
7. \(\lg0{,}001\).
8. \(\log_{\sqrt2}8\).
9. \(\log_{0{,}5}4\).
10. \(\left(\dfrac13\right)^{\log_{\dfrac13}5}\).
11. \(10^{\lg\pi}\).
12. \(10^{1-\lg5}\).
13. \(6^{\log_6 3+\log_6 5}\).
14. \(\log_3 5-\log_3\dfrac5{27}\).
15. \(\log_{12}2+\log_{12}8+\log_{12}9\).
16. \(\log_{36}84-\log_{36}14\).
17. \(\dfrac{\log_{\dfrac12}5}{\log_{\dfrac12}625}\).
18. \(\log_{\sqrt3}\sqrt{18}-\log_3 2\).
19. \(27^{-\dfrac13\log_3\dfrac12-\log_{27}2}\).
20. \(15\log_{\dfrac17}
\left(
\sqrt[5]{7}\cdot\dfrac1{49}\cdot
5^{\log_{\sqrt5}\sqrt[3]{49}}
\right).\)
21. \(\dfrac{\log_2 40}{\lg2}
-
\dfrac{\log_2 5}{\log_{80}2}.\)
22. \(4^{3-\log_5 10}\cdot4^{\log_5 2}.\)
23. \(81^{\dfrac1{\log_5 3}}
+
27^{\log_9 36}
+
3^{\dfrac4{\log_7 9}}.\)
24. \(\log_3\log_3\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}.\)
25. \(\dfrac{
\left(
2^{\dfrac1{\log_8 2}}
+
5^{\log_{25}49}
\right)
\left(
81^{\dfrac1{\log_4 9}}
-
8^{\log_4 9}
\right)
}{
3+
5^{\dfrac1{\log_{16}25}}\cdot5^{\log_5 3}
}.\)
26. \(\log_{15}20\cdot
\log_{16}15\cdot
\log_{17}16\cdot
\log_{18}17\cdot
\log_{19}18\cdot
\log_{20}19.\)
Ответы
1. \(7\).
2. \(0\).
3. \(-3\).
4. \(\dfrac13\).
5. \(3\).
6. \(-2\).
7. \(-3\).
8. \(6\).
9. \(-2\).
10. \(5\).
11. \(\pi\).
12. \(2\).
13. \(15\).
14. \(3\).
15. \(2\).
16. \(\dfrac12\).
17. \(\dfrac14\).
18. \(2\).
19. \(1\).
20. \(7\).
21. \(3\).
22. \(16\).
23. \(890\).
24. \(-2\).
25. \(-11\).
26. \(1\).