Степени и корни
Степени и корни
В данной статье мы рассмотрим основные свойства корней и степеней, а также порешаем различные задачи.
Вспомним вначале, что такое степень.
Степень - это выражение вида \(a^b\), где \(a\) - основание степени, а \(b\) - показатель степени. Данная запись означает, что основание \(a\) нужно умножить на само себя столько раз, сколько записано в показателе степени \(b\).
Разберём конкретные случаи.
- По определению, число в первой степени равно самому себе: \(a^1=a\).
- Возвести число в квадрат - значит возвести его во 2-ую степень, то есть умножить само на себя 2 раза: \(a^2=a\cdot a\) (\(4^2=4\cdot4=16\)).
- Возвести число в куб - значит возвести его во 3-ью степень, то есть умножить само на себя 3 раза: \(a^3=a\cdot a\cdot a\) (\(5^3=5\cdot5\cdot5=125\)).
- Возвести число в \(n\)-ую степень - значит умножить само на себя \(n\) раз: \(a^3=a\cdot a\cdot a\cdot \cdots a\) (всего у нас \(n\) множителей).
Данная схема работает для всех натуральных значений \(n\) и для всех значений \(a\).
Теперь рассмотрим случай, когда \(n=0\). По определению, \(a^0=1\). Это работает для любого числа \(a\), кроме \(a=0\), ведь \(0^0\) - не определено.
А что делать, если степень - отрицательное число. В этом случае нужно пользоваться формулой \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\).
Разберём конкретные случаи.
- \(a^{-1}=\dfrac{1}{a^1}=\dfrac{1}{a}\) \(\left(5^{-1}=\dfrac{1}{5^1}=\dfrac{1}{5}=0,5\right)\).
- \(a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}\) \(\left(3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}\right)\).
Это работает для любого \(a\), кроме \(a=0\), ведь \(0^{-n}\) не определено (тогда в знаменателе получится \(0^n=0\), что недопустимо).
Если основание степени - дробь, то она просто перевернётся, а показатель степени станет положительным: \(\left(\dfrac{m}{k}\right)^{-n}=1:\left(\dfrac{m}{k}\right)^n=\left(\dfrac{k}{m}\right)^n\)
Пример: \(\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1}=1:\left(\dfrac{1}{4}\right)^1=\left(\dfrac{4}{1}\right)^1=4\)
Пример: \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}=1:\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\left(\dfrac{3}{1}\right)^2=9\)
Пример: \(\left(\dfrac{5}{3}\right)^{-2}=1:\left(\dfrac{5}{3}\right)^2=\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{9}{25}\)
Теперь поговорим про корень. Начнём с квадратного корня.
Пусть у нас есть квадратное уравнение \(x^2=4\). Мы знаем, что его решением являются \(x=2\) и \(x=-2\). И также решениями уравнения \(x^2=9\) будут значения \(x=\pm3\).
Но что делать, если необходимо решить уравнение \(x^2=5\). Ведь здесь невозможно подобрать такие целые значения \(x\), чтобы при возведение в квадрат они давали число \(5\).
Так как здесь невозможно подобрать ни целые, ни даже рационального значения \(x\), то был введён квадратный корень.
Арифметический квадратный корень из числа \(a\) - это неотрицательное число, которое в при возведение в квадрат даёт \(a\)
То есть верна такая запись: \((\sqrt{a})^2=a\). Это верно для любого неотрицательного \(a\). И также значение \(\sqrt{a}\) тоже всегда неотрицательно (\(a\geqslant0, \sqrt{a}\geqslant0\)).
При \(a<0\) выражение \(\sqrt{a}\) не определено, ведь нельзя подобрать такое действительное число, которое в квадрате даст отрицательное число. Иначе говоря, у уравнения \(x^2=a\) (при \(a<0\)) нет действительных корней.
Пример: \(\sqrt{36}=6\), но не \(-6\)
И тогда решением уравнения \(x^2=5\) будут значения \(x=\sqrt{5}\) и \(x=-\sqrt{5}\), ведь \((\sqrt{5})^2=5\) и \((-\sqrt{5})^2=(\sqrt{5})^2=5\)
Дальше рассмотрим кубический корень, или корень 3-ей степени. Он обозначается как \(\sqrt[3]{a}\) и означает число, которое нужно возвести в 3-ью степень, чтобы получить \(a\). То есть \((\sqrt[3]{a})^3=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{a}=a\). Это значение является решением уравнения \(x^3=a\).
В отличие от квадратного корня, кубический определён при любых значения \(a\), а также и само \(a\) может быть любым числом. Ведь, например, если взять \(a=-2\), и возвести в 3-ью степень, то получим \(-8\) (то есть \(\sqrt[3]{-8}=-2=a\). С квадратным корнем так не работает (\(a=-2\) в квадрате даёт \(4\), однако \(\sqrt{4}=2\neq a\)). На самом деле арифметический квадратный корень должен обозначаться как \(\sqrt[2]{a}\), однако более принято записывать его просто как \(\sqrt{a}\).
Пример: \(\sqrt[3]{1000}=10\)
Пример: \(\sqrt[3]{-\dfrac{1}{125}}=-\dfrac{1}{5}\)
Если обобщить, то получим, что корень чётной степени можно извлекать только из неотрицательного числа и получать только неотрицательные значения, корень нечётной степени можно извлекать из любого числа и получать значения любого знака.
Тогда корень \(n\)-ой степени из \(a\) - это такое число, которое при возведение в степень \(n\) даёт \(a\). То есть это решение уравнения \(x^n=a\).
И получаем, что если \(n\) - чётное число, то при \(a<0\) корень \(\sqrt[n]{a}\) не определён, при \(a\geqslant0\) корень \(\sqrt[n]{a}\) называется корнем \(n\)-ой степени из числа \(a\) и всегда неотрицателен.
Если \(n\) - нечётное число, что при любом значение \(a\) существует корень \(n\)-ой степени \(\sqrt[n]{a}\).
Пример: \(\sqrt[5]{-32}=-2\)
Пример: \(\sqrt[6]{729}=3\)
Пример: \(\sqrt[3]{0,001}=0,1\)
Теперь, когда мы ввели понятие корня \(n\)-ой степени, вернёмся к степеням и рассмотрим тот случай, когда показатель степени - дробное число (то есть представляется в виде \(\dfrac{m}{n}\), где \(m\) - целое число, \(n\) - натуральное число).
По определению: \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)
То есть, если в показателе степени находится дробь, то числитель этой дроби переходит в степень числа \(a\), а знаменатель дроби становится степенью корня.
Пример: \(25^\frac{1}{2}=\sqrt[2]{25}=\sqrt{25}=5\)
Пример: \(81^\frac{1}{4}=\sqrt[4]{81}=3\)
Пример: \(8^\frac{4}{3}=\sqrt[3]{8^4}=(\sqrt[3]{8})^4=2^4=16\)
Разберём конкретные случаи.
- \(a^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{a}\)
- \(a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}\)
- \(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)
- \(a^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{a^3}\)
- \(a^{-\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{a^{\frac{3}{4}}}=\dfrac{1}{\sqrt[4]{a^3}}\)
Здесь основание степени \(a\) должно быть строго положительным: \(a>0\).
Разберёмся, почему должно быть именно так.
Когда мы говорили про корень 3-ей степени из числа \(a\), то упомянули, что здесь число \(a\) может быть любым. То есть выражение \(\sqrt[3]{a}\) существует при любом \(a\).
Пусть \(a<0\), тогда \(\sqrt[3]{a}<0\). Но ведь его можно записать в таком виде: \(\sqrt[3]{a^1}=a^{\frac{1}{3}}\).
Так почему же на случай, когда в показателе степени дробь, мы наложили ограничение \(a>0\). Причина кроется в том, что выражения \(a^{\frac{1}{3}}\) и \(a^{\frac{2}{6}}\) - это одно и то же.
Однако второе выражение равносильно такому: \(\sqrt[6]{a^2}\). А как мы знаем, из-под корня чётной степени может выйти только положительное число.
В итоге мы получили, что одно и то же выражение равняется разным по знаку числам (\(a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}<0\), но \(a^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{a^2}>0\)), а такого не может быть.
Отсюда делаем вывод, что будем рассматривать только положительные основания, если показатель степени дробный.
Рассмотрим на конкретном примере: \(\sqrt[3]{-8}=-2\), но и \(\sqrt[3]{-8}=\) \((-8)^\frac{1}{3}=\) \((-8)^\frac{2}{6}=\) \(\sqrt[6]{(-8)^2}=\) \(\sqrt[6]{64}=2\). Противоречие.
Свойства степеней
Данные свойства будут работать для любых действительных оснований \(a>0\) и \(b>0\), а также для любых рациональных показателей степени \(m\) и \(n\).
\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
Пример: \(3^3\cdot3^2=3^{3+2}=3^5=243\)
\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
Пример: \(\dfrac{5^7}{5^4}=5^{7-4}=5^3=125\)
\(\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}\)
Пример: \(8^4=\left(2^3\right)^4=2^{12}=4096\)
\(a^m\cdot b^m=(a\cdot b)^m\)
Пример: \(4^3\cdot2^3=(4\cdot2)^3=8^3=512\)
\(\dfrac{a^m}{b^m}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^m\)
Пример:\(\dfrac{4^3}{2^3}=\left(\dfrac{4}{2}\right)^3=2^3=8\)
Свойства корней
Также вспомним свойства корней. Все они доказываются через свойства степеней. Для всех свойств \(m,n\in\mathbb{N}; m,n>1\).
\(\sqrt[n]{a^n}=a\) (\(n\) - нечетное число)
Доказательство: \(\sqrt[n]{a^n}=a^\frac{n}{n}=a^1=a\)
\(\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|\)
Доказательство: аналогично предыдущему свойству, однако, из-под корня чётной степени может выйти только неотрицательное число, поэтому ставим модуль.
\(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a\)
Доказательство: \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=\left(a^\frac{1}{n}\right)^n=a^{\frac{1}{n}\cdot n}=a^1=a\)
\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\) (\(a\geqslant0, b\geqslant0\))
Доказательство: \(\sqrt[n]{ab}=(ab)^\frac{1}{n}=a^\frac{1}{n}\cdot b^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)
\(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) (\(a\geqslant0, b\geqslant0\))
Доказательство: \(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^\frac{1}{n}=\dfrac{a^\frac{1}{n}}{b^\frac{1}{n}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)
\(\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m\) (\(a\geqslant0\))
Доказательство: \(\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}=\left(a^\frac{1}{n}\right)^m=(\sqrt[n]{a})^m\)
\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\) (\(a\geqslant0\))
Доказательство: \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\) \((\sqrt[m]{a})^\frac{1}{n}=\) \(\left(a^\frac{1}{m}\right)^\frac{1}{n}=\) \(a^{\frac{1}{m}\cdot\frac{1}{n}}=\) \(a^{\frac{1}{m\cdot n}}=\) \(\sqrt[m\cdot n]{a}\)
\(\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}\) (\(a\geqslant0\))
Доказательство: \(\sqrt[nk]{a^{mk}}=a^\frac{mk}{nk}=a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}\)
\(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\) (\(n\) - нечётное)
Доказательство: \(\sqrt[n]{-a}=\sqrt[n]{-1}\cdot\sqrt[n]{a}=-\sqrt[n]{a}\)
Записаться на пробный урок ЕГЭ по профильной математике https://marseltutor.ru/
В том числе для арифметического квадратного корня запоминаем:
\(\sqrt{a^2}=|a|\)
если \(a\geqslant0\), то \(|a|=a\)
если \(a<0\), то \(|a|=-a\)
Если при решение примера получилось дробь с корнем в знаменателе \(\left(\dfrac{a}{\sqrt{b}}\right)\), то лучше всего избавиться от иррациональности.
Для этого умножим и числитель, и знаменатель дроби на \(\sqrt{b}\). Получаем следующее: \(\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}\). Теперь в знаменателе рациональное число.
Если же изначально в знаменателе был не отдельный множитель с корнем, а сумма или разность, то необходимо умножить на его сопряжённое (то есть такое же выражение, но отличающееся знаком перед вторым слагаемым). Тем самым в знаменателе мы получим разность квадратов и избавимся от знака корня.
\(\dfrac{a}{b+\sqrt{c}}=\) \(\dfrac{a(b-\sqrt{c})}{(b+\sqrt{c})(b-\sqrt{c})}=\) \(\dfrac{a(b-\sqrt{c})}{b^2-c}\)
\(\dfrac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}=\) \(\dfrac{a(\sqrt{b}+\sqrt{c})}{(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\) \(\dfrac{a(\sqrt{b}+\sqrt{c})}{b-c}\)
Разберём несколько примеров на данную тему
1. Вычислите: \(\dfrac{\sqrt{2,8} \cdot \sqrt{4,2}}{\sqrt{0,24}}\)
\(\dfrac{\sqrt{2,8} \cdot \sqrt{4,2}}{\sqrt{0,24}}=\) \(\sqrt{\dfrac{2,8 \cdot 4,2}{0,24}}=\) \(\sqrt{\dfrac{28 \cdot 42}{24}}=\) \(\sqrt{\dfrac{7 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 6}}=\) \(\sqrt{7\cdot7}=7\)
Здесь мы по формулам объединили все подкоренные выражения под один знак корня, далее упростили получившееся выражение и вычислили корень.
2. Вычислите: \(\dfrac{(2 \sqrt{7})^2}{14}\)
\(\dfrac{(2 \sqrt{7})^2}{14}=\dfrac{2^2 \cdot(\sqrt{7})^2}{14}=\dfrac{4 \cdot 7}{14}=2\)
Просто действуем по формулам: скобка возводится в квадрат, значит каждый из множителей возводится в квадрат. Считаем и получаем ответ.
3. Вычислите: \(\dfrac{21 \sqrt{7}}{\sqrt{147}+\sqrt{63}-7 \sqrt{3}}\)
Преобразуем знаменатель: \(\sqrt{147}=\sqrt{49\cdot7}=7\sqrt{7}\) и \(\sqrt{63}=\sqrt{9\cdot7}=3\sqrt{7}\). Знаменатель принимаем вид \(7\sqrt{7}+3\sqrt{7}-7\sqrt{3}=3\sqrt{7}\). Тогда всё выражение равняется \(\dfrac{21\sqrt{7}}{3\sqrt{7}}=7\).
4. Вычислите: \(\dfrac{\sqrt[9]{7} \cdot \sqrt[18]{7}}{\sqrt[6]{7}}\)
\(\dfrac{\sqrt[9]{7} \cdot \sqrt[18]{7}}{\sqrt[6]{7}}=\) \(\dfrac{7^{\frac{1}{9}} \cdot 7^{\frac{1}{18}}}{7^{\frac{1}{6}}}=\) \(7^{\frac{1}{9}+\frac{1}{18}-\frac{1}{6}}=\) \(7^0=1\).
По свойству преобразуем корни в степени, ведь со степенями работать удобнее. Выполняем все необходимые операции и пишем ответ.
5. Вычислите: \(\left(\sqrt{2 \dfrac{2}{3}}-\sqrt{16 \dfrac{2}{3}}\right): \sqrt{\dfrac{2}{27}}\)
\(\left(\sqrt{2 \dfrac{2}{3}}-\sqrt{16 \dfrac{2}{3}}\right): \sqrt{\dfrac{2}{27}}=\) \(\left(\sqrt{\dfrac{8}{3}}-\sqrt{\dfrac{50}{3}}\right): \sqrt{\dfrac{2}{27}}=\) \(\sqrt{\dfrac{8}{3}}:\sqrt{\dfrac{2}{27}}-\sqrt{\dfrac{50}{3}}:\sqrt{\dfrac{2}{27}}=\) \(\sqrt{\dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{27}{2}}-\sqrt{\dfrac{50}{3}\cdot\dfrac{27}{2}}=\) \(\sqrt{4\cdot9}-\sqrt{25\cdot9}=\) \(6-15=-9\).
6. Избавьтесь от иррациональности: \(\dfrac{12}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}\)
Чтобы это сделать, умножим и числитель, и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое знаменателю, то есть на \(\sqrt{6}-\sqrt{3}\). Если в знаменателе стоит сумма, то лучше всего умножать на разность, где из больше числа вычитается меньшее. Так получившаяся разность квадратов будет положительной.
В итоге получаем: \(\dfrac{12(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{6}-\sqrt{3})}=\) \(\dfrac{12(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{6-3}=\) \(\dfrac{12(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{3}=\) \(4(\sqrt{6}-\sqrt{3})\).
7. Избавьтесь от иррациональности: \(\dfrac{5+3 \sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}\)
\(\dfrac{5+3 \sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}=\) \(\dfrac{(5+3 \sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})}=\) \(\dfrac{10+6 \sqrt{3}-5 \sqrt{3}-9}{2^2-(\sqrt{3})^2}=\) \(\dfrac{1+\sqrt{3}}{4-3}=\) \(1+\sqrt{3}\).
8. Сравните \(\sqrt{140}\) и \(\frac{1}{7+4 \sqrt{3}}+\frac{1}{7-4 \sqrt{3}}\)
Для начала упростим второе выражение, приведя дроби к общему знаменателю: \(\dfrac{1}{7+4 \sqrt{3}}+\dfrac{1}{7-4 \sqrt{3}}=\) \(\dfrac{7-4 \sqrt{3}+7+4 \sqrt{3}}{(7+4 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}=\) \(\dfrac{14}{7^2-(4 \sqrt{3})^2}=\) \(\dfrac{14}{49-48}=14\).
Теперь необходимо сравнить числа \(\sqrt{140}\) и \(14\). Можно представить \(14\) как \(\sqrt{196}\) и понять, что \(\sqrt{140}<\sqrt{196}\Leftrightarrow\sqrt{140}<14\). А значит в исходном примере первое выражение меньше второго.
9. Найдите значение выражения \(\dfrac{\left(b^{\sqrt{3}}\right)^{2 \sqrt{3}}}{b^3}\) при \(b=-5\).
По свойству степеней в числителе получается \(\left(b^{\sqrt{3}}\right)^{2 \sqrt{3}}=b^{\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}}=b^6\). Тогда итоговое выражение равняется \(\dfrac{b^6}{b^3}=b^3=-125\).
10. Упростите выражение: \(\dfrac{{2^{2 n-1}} \cdot {3^{n+1}}}{6 \cdot 12^n}\)
Преобразуем числитель: \(2^{2n-1}=\dfrac{2^{2n}}{2}\) и \(3^{n+1}={3^n}\cdot{3}\). Тогда весь числитель выглядит так: \(\dfrac{3}{2}\cdot{2^{2n}}\cdot{3^n}\).
Попробуем в знаменателе получить выражения, похожие на те, что в числителе. Заметим, что \(12^n=(4\cdot3)^n={4^n}\cdot{3^n}={2^{2n}}\cdot{3^n}\).
Тогда, сокращая \(2^{2n}\) и \(3^n\), получаем дробь \(\dfrac{\frac{3}{2}}{6}=\dfrac{3}{12}=0,25\).
11. Вычислите: \(\sqrt{3 \sqrt[4]{3 \sqrt[3]{3}}} \cdot \sqrt[3]{3}\)
Преобразуем первый множитель, раскрывая постепенно корни изнутри:
\(\sqrt[3]{3}=3^\frac{1}{3}\Rightarrow\) \( 3\sqrt[3]{3}=3^1\cdot3^\frac{1}{3}=3^\frac{4}{3} \Rightarrow\) \( \sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}=\sqrt[4]{3^\frac{4}{3}}=\left(3^\frac{4}{3}\right)^\frac{1}{4}=3^{\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{4}}=3^\frac{1}{3}\Rightarrow\) \( 3 \sqrt[4]{3 \sqrt[3]{3}}=3^1\cdot3^\frac{1}{3}=3^\frac{4}{3} \Rightarrow\) \( \sqrt{3 \sqrt[4]{3 \sqrt[3]{3}}}=\sqrt{3^\frac{4}{3}}=\left(3^\frac{4}{3}\right)^\frac{1}{2}=3^{\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}}=3^\frac{2}{3}\).
Тогда имеем следующее: \(3^\frac{2}{3}\cdot\sqrt[3]{3}=3^\frac{2}{3}\cdot3^\frac{1}{3}=3^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}=3\).
12. Упростите выражение: \(\dfrac{x^{-6}+x^{-4}+x^{-2}}{x^2+x^4+x^6}\)
Здесь, самое главное, не складывать степени. Так мы можем делать, только если основания умножаются или делятся. Однако здесь основания складываются, и формулы не работают.
Чтобы упростить выражения, вынесем степень с меньшим показателем за скобку: \(\dfrac{x^{-6}(1+x^2+x^4)}{x^2(1+x^2+x^4)}=\dfrac{x^{-6}}{x^2}=x^{-8}\).
13. Вычислите: \(\sqrt{11+4 \sqrt{7}}-\sqrt{11-4 \sqrt{7}}\)
Здесь очень важно уметь выделять полные квадраты. Под первым корнем преобразуем: \(11+4\sqrt{7}=\) \(4+4\sqrt{7}+7=\) \(2^2+2\cdot2\cdot\sqrt{7}+(\sqrt{7})^2=\) \((2+\sqrt{7})^2\). Тогда \(\sqrt{11-4\sqrt{7}}=\) \(\sqrt{(2+\sqrt{7})^2}=\) \(|2+\sqrt{7}|=\) \(2+\sqrt{7}\).
Под вторым корнем проводим аналогичные операции: \(11-4\sqrt{7}=\) \(4-4\sqrt{7}+7=\) \(2^2-2\cdot2\cdot\sqrt{7}+(\sqrt{7})^2=\) \((2-\sqrt{7})^2\). Тогда \(\sqrt{11-4\sqrt{7}}=\) \(\sqrt{(2-\sqrt{7})^2}=\) \(|2-\sqrt{7}|=\) \(\sqrt{7}-2\) (модуль сняли с изменением знака, потому что \(2-\sqrt{7}<0\)).
Исходное выражение равно следующему: \(2+\sqrt{7}-(\sqrt{7}-2)=2+\sqrt{7}-\sqrt{7}+2=4\)
14. Вычислите значение выражения: \((x-3) \sqrt{\dfrac{1}{x^2-6 x+9}}\), если \(x<3\)
Под корнем в знаменателе выделим полный квадрат: \(x^2-6x+9=(x-3)^2\). Сам корень можно записать как \(\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{(x-3)^2}}=\dfrac{1}{|x-3|}\). Так как \(x<3\), то \(x-3<0\), следовательно модуль снимается с изменением знака: \(\dfrac{1}{-(x-3)}\).
Возвращаясь к примеру, получаем ответ: -1.
Дополнительные примеры для тренировки
1. Вычислите: \(4 \cdot 81^{\frac{1}{4}}+0,5^0\)
2. Вычислите: \(\sqrt[4]{81}-\sqrt{49} \cdot \sqrt[3]{27}\)
3. Вычислите: \(\dfrac{\sqrt{\sqrt{36}\cdot\sqrt[3]{8}}}{\sqrt[4]{16}}\)
4. Вычислите: \(\dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt[42]{m} \cdot \sqrt[7]{m}}\) при \(m=27\)
5. Найдите значение выражения \(\dfrac{\sqrt{25 \sqrt[5]{b}}}{\sqrt[10]{b}}\) при \(b>0\)
6. Вычислите: \(\dfrac{3 \sqrt{x^2 y}-x \sqrt{25 y}}{\sqrt{64 x^4 y^3}}\), если \(x<0\)
7. Вычислите \((\sqrt{48}-\sqrt{3}) \cdot \sqrt{12}\)
8. Найдите значение выражения \(\dfrac{11 a^6 b^3-\left(3 a^2 b\right)^3}{4 a^6 b^6}\) при \(b=2\)
9. Найдите значение выражения \(\dfrac{a^{3,21} \cdot a^{7,36}}{a^{8,57}}\) при \(a=12\)
10. Найдите значение выражения: \(\frac{a^{-4} \cdot a^{-3}}{a^{-5}}\) при \(a=\frac{1}{3}\)
11. Вычислите: \(\sqrt{\sqrt{39} \cdot \sqrt{117} \cdot \sqrt{507}}\)
12. Избавьтесь от иррациональности: \(\dfrac{2}{\sqrt{27}}\)
13. Избавьтесь от иррациональности: \(\dfrac{6}{1+\sqrt{3}}\)
14. Избавьтесь от иррациональности: \(\dfrac{33}{7-3 \sqrt{3}}\)
15. Упростите выражение: \(\sqrt{19-8 \sqrt{3}}\)
16. Вычислите: \(\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}\)
17. Вычислите: \(\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}+\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}\)
18. Вычислите: \((\sqrt{3}-2)(\sqrt{7+4 \sqrt{3}})\)
19. Вычислите: \(\sqrt{(2-x)^2}+\sqrt{(6-x)^2}\), если \(3 \leqslant x \leqslant 5\)
20. Вычислите: \(\dfrac{4^{\sqrt{11}} \cdot 5^{\sqrt{11}}}{20^{\sqrt{11}-2}}\)
21. Вычислите: \(\left(\dfrac{6^{\sqrt{3}}-2^{\sqrt{3}}}{3^{\sqrt{3}}-1}\right)^{\sqrt{3}}\)
22. Вычислите: \(\left((\sqrt{3})^{2 \sqrt{5}} \cdot(\sqrt[3]{3})^{3 \sqrt{3}}\right)^{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\)
Ответы
1. 13
2. -18
3. \(\sqrt{3}\)
4. 3
5. 5
6. \(-\dfrac{1}{xy}\)
7. 18
8. -0,5
9. 144
10. 9
11. 39
12. \(\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\)
13. \(3(\sqrt{3}-1)\)
14. \(\dfrac{3(7+3 \sqrt{3})}{2}\)
15. \(4-\sqrt{3}\)
16. 1
17. 1
18. -1
19. 4
20. 400
21. 8
22. 9