Формула D/4

Пусть у нас есть квадратное уравнение , где .

Всем известна формула дискриминанта квадратного уравнения: . Тогда корни квадратного уравнения мы можем найти как .

Но также есть формула для случая, когда коэффициент - чётный. Тогда мы можем воспользоваться "дискриминантом на 4": . Корни же находятся по формуле . 

Чтобы лучше понять связь с обычным дискриминантом и квадратным уравнением, советую почитать вывод этой формулы, который идёт после примеров. А сейчас немного практики.

Пример 1.  

Если мы решаем обычным способом, то: и . То есть корнями будут являться числа -3 и .

Если мы решаем через дискриминант на 4, то: и . Тогда корнями будут являться числа -3 и . Понятно, что корни получились те же, но вот вычисления здесь оказались проще.

Пример 2.  

Следовательно, корней нет.

Пример 3.  

Пример 4.  

То есть корнями будут числа -2 и 28. Заметьте, что вычисления здесь простые, и нам не пришлось считать .

Записаться на пробный урок ЕГЭ по профильной математике https://marseltutor.ru/

Вывод формул

Изначально у нас было квадратное уравнение: . 

Разделим обе части уравнения на и получим следующее: . 

Попробуем выделить полный квадрат в левой части. Для этого из дроби сделаем , а также прибавим и вычтем выражение . Тем самым мы получили такое уравнение: . 

Перебросим две дроби вправо: . А теперь слева выделим полный квадрат, а справа приведём дроби к общему знаменателю: . 

То, что находится справа в числителе, и называется дискриминантом. 

Отсюда и получаем, что при будет 2 корня, при будет 1 корень, а при не будет корней, ведь полный квадрат не может равняться отрицательному числу. Для получаем, что . Для получаем, что .

А теперь давайте рассмотрим случай, когда коэффициент - чётный, то есть мы его можем представить как . Тогда мы имеем квадратное уравнение: . 

Проведём с ним похожие операции. . 

Тогда мы получили, что дискриминантом такого уравнения является выражение и называется оно . 

Если , то уравнение не имеет корней. Если , то , то есть такой же корень. И если , то уравнение имеет 2 корня: .

То есть в обычной формуле дискриминанта мы всё поделили на 4 и получили новую формулу . И в формуле для корней квадратного уравнения произошли изменения и стало: .

Этой формулой можно пользоваться тогда, когда коэффициент перед - чётный. Конечно, можно использовать и обычный дискриминант, однако этот способ упрощает вычисления.

Примеры для самопроверки

1)  

2)  

3)  

4)  

5)  

Ответы 

1)

2)

3)  

4)

5)   

Теория к первой части ЕГЭ

Банк задач по первой части ЕГЭ

Другие статьи по важным темам

План подготовки к ЕГЭ