Формула D/4
Формула D/4
Пусть у нас есть квадратное уравнение \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\neq0\).
Всем известна формула дискриминанта \(D\) квадратного уравнения: \(D=b^2-4ac\). Тогда корни квадратного уравнения мы можем найти как \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
Но также есть формула для случая, когда коэффициент \(b\) - чётный. Тогда мы можем воспользоваться "дискриминантом на 4": \(\dfrac{D}{4}=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2-ac\). Корни же находятся по формуле \(x=\dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm\sqrt{\dfrac{D}{4}}}{a}\).
Чтобы лучше понять связь с обычным дискриминантом и квадратным уравнением, советую почитать вывод этой формулы, который идёт после примеров. А сейчас немного практики.
Пример 1. \(5x^2+16x+3=0\)
Если мы решаем обычным способом, то: \(D=b^2-4ac=\) \(16^2-4\cdot5\cdot3=\) \(256-60=196=\) \(14^2\) и \(x=\dfrac{-16\pm14}{10}\). То есть корнями будут являться числа -3 и \(-\dfrac{1}{5}\).
Если мы решаем через дискриминант на 4, то: \(\dfrac{D}{4}=\) \(\left(\dfrac{b}{2}\right)^2-ac=\) \(8^2-5\cdot3=\) \(64-15=49=\) \(7^2\) и \(x=\dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm\sqrt{\dfrac{D}{4}}}{a}=\dfrac{-8\pm7}{5}\). Тогда корнями будут являться числа -3 и \(-\dfrac{1}{5}\). Понятно, что корни получились те же, но вот вычисления здесь оказались проще.
Пример 2. \(x^2-20x+136=0\)
\(\dfrac{D}{4}=\) \((-10)^2-136=\) \(100-136=-36<0\)
Следовательно, корней нет.
Пример 3. \(2x^2+8x+5=0\)
\(\dfrac{D}{4}=\) \(4^2-2\cdot5=\) \(16-10=6\)
\(x=\dfrac{-4\pm\sqrt{6}}{2}\)
Пример 4. \(x^2-26x-56=0\)
\(\dfrac{D}{4}=\) \((-13)^2-(-56)=\) \(169+56=\) \(225=15^2\)
\(x=\dfrac{13\pm15}{1}\)
То есть корнями будут числа -2 и 28. Заметьте, что вычисления здесь простые, и нам не пришлось считать \(26^2\).
Записаться на пробный урок ЕГЭ по профильной математике https://marseltutor.ru/
Вывод формул
Изначально у нас было квадратное уравнение: \(ax^2+bx+c=0\).
Разделим обе части уравнения на \(a\neq0\) и получим следующее: \(x^2+\dfrac{b}{a} x+\dfrac{c}{a}=0\).
Попробуем выделить полный квадрат в левой части. Для этого из дроби \(\dfrac{b}{a}\) сделаем \(2\cdot\dfrac{b}{2a}\), а также прибавим и вычтем выражение \(\dfrac{b^2}{4a^2}\). Тем самым мы получили такое уравнение: \(x^2+2 \cdot \dfrac{b}{2 a} x+{\dfrac{b^2}{4 a^2}}-{\dfrac{b^2}{4 a^2}}+\dfrac{c}{a}=0\).
Перебросим две дроби вправо: \(x^2+2 \cdot \dfrac{b}{2 a} x+{\dfrac{b^2}{4 a^2}}={\dfrac{b^2}{4 a^2}}-\dfrac{c}{a}\). А теперь слева выделим полный квадрат, а справа приведём дроби к общему знаменателю: \(\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^2=\dfrac{b^2-4 a c}{4 a^2}\).
То, что находится справа в числителе, и называется дискриминантом.
Отсюда и получаем, что при \(D>0\) будет 2 корня, при \(D=0\) будет 1 корень, а при \(D<0\) не будет корней, ведь полный квадрат не может равняться отрицательному числу. Для \(D=0\) получаем, что \(x+\dfrac{b}{2a}=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}\). Для \(D>0\) получаем, что \(x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{D}}{2a} \Leftrightarrow x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
А теперь давайте рассмотрим случай, когда коэффициент \(b\) - чётный, то есть мы его можем представить как \(b=2k\). Тогда мы имеем квадратное уравнение: \(ax^2+2kx+c=0\).
Проведём с ним похожие операции. \(ax^2+2kx+c=0 \Leftrightarrow\) \(x^2+2\dfrac{k}{a}x+\dfrac{c}{a}=0 \Leftrightarrow\) \(x^2+2\dfrac{k}{a}x+\dfrac{k^2}{a^2}-\dfrac{k^2}{a^2}+\dfrac{c}{a}=0 \Leftrightarrow\) \(\left(x+\dfrac{k}{a}\right)^2=\dfrac{k^2-ac}{a^2}\).
Тогда мы получили, что дискриминантом такого уравнения является выражение \(k^2-ac=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2-ac\) и называется оно \(\dfrac{D}{4}\).
Если \(\dfrac{D}{4}<0\), то уравнение не имеет корней. Если \(\dfrac{D}{4}=0\), то \(x+\dfrac{k}{a}=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{k}{a}=-\dfrac{b}{2a}\), то есть такой же корень. И если \(\dfrac{D}{4}>0\), то уравнение имеет 2 корня: \(x+\dfrac{k}{a}=\pm\dfrac{\sqrt{\dfrac{D}{4}}}{a} \Leftrightarrow\) \( x=\dfrac{-k\pm\sqrt{\dfrac{D}{4}}}{a} \Leftrightarrow\) \(x=\dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm\sqrt{\dfrac{D}{4}}}{a}\).
То есть в обычной формуле дискриминанта \(D=b^2-4ac\) мы всё поделили на 4 и получили новую формулу \(\dfrac{D}{4}=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2-ac\). И в формуле для корней квадратного уравнения \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) произошли изменения и стало: \(x=\dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm\sqrt{\dfrac{D}{4}}}{a}\).
Этой формулой можно пользоваться тогда, когда коэффициент перед \(x\) - чётный. Конечно, можно использовать и обычный дискриминант, однако этот способ упрощает вычисления.
Примеры для самопроверки
1) \(5x^2+8x-4=0\)
2) \(x^2-4x-7=0\)
3) \(x^2-8x+2=0\)
4) \(2x+3=-2x^2\)
5) \(7x^2-20x-1067=0\)
Ответы
1) \(-2; 0,4\)
2) \(2\pm\sqrt11\)
3) \(4\pm\sqrt14\)
4) \(\varnothing\)
5) \(-11; \dfrac{97}{7}\)