№14. Уравнения

Пункт а. Убираем корень

По основному тригонометрическому тождеству \(1 - \sin^2 x = \cos^2 x\), поэтому

\[\sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|.\]

Важно! Именно модуль, а не \(\cos x\): арифметический корень неотрицателен, а косинус бывает отрицательным. Запись \(\sqrt{\cos^2 x} = \cos x\) — грубая ошибка, из-за которой уравнение решается неверно.

Уравнение принимает вид

\[49^{-|\cos x|} - 49^{\cos x} = -\dfrac{48}{7}.\]

Модуль раскрываем по знаку косинуса — разбираем два случая.

Случай 1: cos x < 0

Тогда \(|\cos x| = -\cos x\), а значит \(-|\cos x| = \cos x\), и левая часть обращается в ноль:

\[49^{\cos x} - 49^{\cos x} = 0 \neq -\dfrac{48}{7}.\]

В этом случае корней нет.

Случай 2: cos x ≥ 0

Тогда \(|\cos x| = \cos x\), и уравнение становится таким:

\[49^{-\cos x} - 49^{\cos x} = -\dfrac{48}{7}.\]

Сделаем замену \(u = 49^{\cos x}\). Так как \(\cos x \ge 0\), то и \(u \ge 49^0 = 1\). При этом \(49^{-\cos x} = \dfrac{1}{u}\):

\[\dfrac{1}{u} - u = -\dfrac{48}{7}.\]

Умножаем обе части на \(7u\) (это допустимо: \(u \ge 1 > 0\)):

\[7 - 7u^2 = -48u,\qquad 7u^2 - 48u - 7 = 0.\]

\[D = 48^2 + 4\cdot 7\cdot 7 = 2304 + 196 = 2500,\qquad \sqrt{D} = 50,\]

\[u_1 = \dfrac{48 + 50}{14} = 7,\qquad u_2 = \dfrac{48 - 50}{14} = -\dfrac{1}{7}.\]

Корень \(u_2\) отрицателен — он не подходит под ограничение \(u \ge 1\). Остаётся \(u = 7\):

\[49^{\cos x} = 7,\qquad 7^{\,2\cos x} = 7^1,\qquad 2\cos x = 1,\qquad \cos x = \dfrac{1}{2}.\]

Условие случая \(\cos x \ge 0\) выполнено. Итак,

\[x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]\) — три четверти оборота: начинаем сверху окружности (точка \(\dfrac{5\pi}{2} = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}\)) и идём против часовой стрелки до \(4\pi\).

Переводим концы и серии в шестые доли \(\pi\) (это удобно, ведь \(\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{6}\)):

\[\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{15\pi}{6},\qquad 4\pi = \dfrac{24\pi}{6}.\]

\[x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(2 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 1 \to \dfrac{14\pi}{6}\ (14 < 15),\quad k = 2 \to \dfrac{26\pi}{6}\ (26 > 24)\ —\ \text{мимо};\]

\[x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(-2 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{22\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{3}\ —\ \text{подходит}.\]

Обратите внимание, насколько близко прошла первая серия: \(\dfrac{14\pi}{6}\) всего на \(\dfrac{\pi}{6}\) левее начала отрезка. На рисунке это та самая светлая точка — она лежит на «пустом» куске окружности.

Ответ: а) \(\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{11\pi}{3}\)

Пункт а. Одно основание

Слева «степень в степени»: при возведении степени в степень показатели перемножаются, \(\left(a^{m}\right)^{n} = a^{mn}\). Значит

\[\left(25^{\cos x}\right)^{\sin x} = 25^{\sin x\cos x}.\]

Теперь заметим, что \(25 = 5^2\), и приведём левую часть к основанию 5:

\[25^{\sin x\cos x} = \left(5^2\right)^{\sin x \cos x} = 5^{\,2\sin x\cos x} = 5^{\sin 2x},\]

здесь в конце применена формула синуса двойного угла \(2\sin x\cos x = \sin 2x\). Уравнение приняло вид

\[5^{\sin 2x} = 5^{\sqrt{2}\,\sin x}.\]

Важно! Функция \(y = 5^{t}\) строго возрастает, поэтому равным значениям отвечают равные показатели. Именно монотонность разрешает «снять» основания — это стоит написать одной фразой.

\[\sin 2x = \sqrt{2}\,\sin x.\]

Разложение на множители

Раскроем синус двойного угла и перенесём всё влево:

\[2\sin x\cos x - \sqrt{2}\,\sin x = 0,\qquad \sin x\left(2\cos x - \sqrt{2}\right) = 0.\]

Важно! Ни в коем случае не делим обе части на \(\sin x\)! Так теряется целая серия корней \(x = \pi k\), а это сразу минус балл даже при верном оформлении остального. Общий множитель всегда выносим, а не сокращаем.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[\sin x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pi k;\]

\[\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \;\Longrightarrow\; x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\). Его начало \(2\pi\) — правая точка окружности, дальше против часовой стрелки до \(\dfrac{7\pi}{2} = 2\pi + \dfrac{3\pi}{2}\) — это низ окружности.

Переводим всё в четверти \(\pi\):

\[2\pi = \dfrac{8\pi}{4},\qquad \dfrac{7\pi}{2} = \dfrac{14\pi}{4}.\]

Числитель должен лежать между \(8\) и \(14\).

\[x = \pi k = \dfrac{4k\pi}{4}:\quad k = 2 \to 2\pi\ (8),\quad k = 3 \to 3\pi\ (12)\ —\ \text{оба подходят};\quad k = 4 \to 4\pi\ (16)\ —\ \text{мимо};\]

\[x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 8k)\pi}{4}:\quad k = 1 \to \dfrac{9\pi}{4}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{(-1 + 8k)\pi}{4}:\quad k = 1 \to \dfrac{7\pi}{4}\ (7 < 8),\quad k = 2 \to \dfrac{15\pi}{4}\ (15 > 14)\ —\ \text{мимо оба раза}.\]

Важно! Концы отрезка входят в него (скобки квадратные), поэтому значение \(x = 2\pi\) — полноценный корень, его нельзя выбрасывать. Проверка: \(\sin 2\pi = 0\), левая часть \(\left(25^{1}\right)^{0} = 1\), правая \(5^{0} = 1\) — равенство верное.

Ответ: а) \(\pi k;\ \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(2\pi;\ \dfrac{9\pi}{4};\ 3\pi\)

Пункт а. Снимаем корни

Слева и справа стоят арифметические квадратные корни. Равенство \(\sqrt{A} = \sqrt{B}\) равносильно системе

\[\begin{cases}A = B,\\ B \ge 0.\end{cases}\]

Важно! Достаточно потребовать неотрицательность одного подкоренного выражения: если \(A = B\) и \(B \ge 0\), то автоматически и \(A \ge 0\). Но хотя бы одно условие написать нужно — иначе решение считается неполным.

Записываем систему:

\[\begin{cases}2\sin^2 x + 10\sin x + 2 = \sin x + 7,\\ \sin x + 7 \ge 0.\end{cases}\]

Второе неравенство выполняется всегда: \(\sin x \ge -1\), поэтому \(\sin x + 7 \ge 6 > 0\). Остаётся первое уравнение:

\[2\sin^2 x + 10\sin x + 2 - \sin x - 7 = 0,\qquad 2\sin^2 x + 9\sin x - 5 = 0.\]

Квадратное уравнение относительно синуса

Обозначим \(s = \sin x\), причём \(-1 \le s \le 1\):

\[2s^2 + 9s - 5 = 0,\qquad D = 81 + 40 = 121,\qquad \sqrt{D} = 11,\]

\[s_1 = \dfrac{-9 + 11}{4} = \dfrac{1}{2},\qquad s_2 = \dfrac{-9 - 11}{4} = -5.\]

Важно! Корень \(s = -5\) обязательно нужно отбросить со словами «\(|\sin x| \le 1\)». Это самая частая потеря балла в таких задачах: ученик решает квадратное уравнение и забывает, что синус живёт только на отрезке \([-1;\,1]\).

Остаётся \(\sin x = \dfrac{1}{2}\), откуда

\[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\qquad x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\) — три четверти оборота. Точка \(-3\pi\) лежит там же, где \(\pi\) (левая точка окружности): от неё идём против часовой стрелки и доходим до \(-\dfrac{3\pi}{2}\) — это верх окружности.

Переводим концы отрезка и обе серии в шестые доли \(\pi\):

\[-3\pi = -\dfrac{18\pi}{6},\qquad -\dfrac{3\pi}{2} = -\dfrac{9\pi}{6}.\]

Нужно, чтобы числитель лежал между \(-18\) и \(-9\).

\[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -1 \to -\dfrac{11\pi}{6}\ —\ \text{подходит}\ (-18 \le -11 \le -9);\]

\[k = -2 \to -\dfrac{23\pi}{6}\ (-23 < -18)\ —\ \text{мимо};\]

\[x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(5 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -1 \to -\dfrac{7\pi}{6}\ (-7 > -9),\quad k = -2 \to -\dfrac{19\pi}{6}\ (-19 < -18).\]

Вторая серия в отрезок не попадает совсем: её точки «перепрыгивают» отрезок (на рисунке это светлая незакрашенная точка). Остаётся один корень.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{11\pi}{6}\)

Пункт а. Сводим к одной показательной величине

В показателе второго слагаемого стоит \(\sin(\pi + x)\). Это формула приведения:

\[\sin(\pi + x) = -\sin x.\]

Значит

\[4^{\sin(\pi + x)} = 4^{-\sin x} = \dfrac{1}{4^{\sin x}},\]

и всё уравнение зависит только от одной величины \(4^{\sin x}\). Обозначим её буквой:

\[t = 4^{\sin x}.\]

Важно! Сразу пишем ограничение \(t > 0\): показательная функция принимает только положительные значения. Без этой строчки замена считается необоснованной, и за неё снимают балл, даже если ответ получился верный.

Уравнение превращается в дробно-рациональное:

\[t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{5}{2}.\]

Умножим обе части на \(2t\) (это можно: \(t > 0\), значит \(2t \neq 0\)):

\[2t^2 + 2 = 5t,\qquad 2t^2 - 5t + 2 = 0.\]

Дискриминант \(D = 25 - 16 = 9\), \(\sqrt{D} = 3\):

\[t_1 = \dfrac{5 + 3}{4} = 2,\qquad t_2 = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2}.\]

Оба корня положительны, оба подходят.

Возвращаемся к переменной x

Чтобы сравнить показатели, приведём всё к основанию 2: \(4 = 2^2\), поэтому \(4^{\sin x} = 2^{2\sin x}\).

\[2^{2\sin x} = 2^1 \;\Longrightarrow\; 2\sin x = 1 \;\Longrightarrow\; \sin x = \dfrac{1}{2};\]

\[2^{2\sin x} = 2^{-1} \;\Longrightarrow\; 2\sin x = -1 \;\Longrightarrow\; \sin x = -\dfrac{1}{2}.\]

Теперь два простейших тригонометрических уравнения. Синус равен \(\dfrac12\) в двух точках окружности, и \(-\dfrac12\) — тоже в двух:

\[\sin x = \dfrac{1}{2}:\quad x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k;\]

\[\sin x = -\dfrac{1}{2}:\quad x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Коротко это записывают так:

\[x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\qquad x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! Запись \(x = (-1)^n \arcsin a + \pi n\) тоже верна, но для пункта б она крайне неудобна: приходится отдельно перебирать чётные и нечётные \(n\). Две отдельные серии «\(\alpha + 2\pi k\)» и «\(\pi - \alpha + 2\pi k\)» (или «\(-\alpha + 2\pi k\)») отбираются гораздо спокойнее.

Пункт б. Отбор корней

Длина отрезка \(\left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]\) равна \(4\pi - \dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2}\) — это три четверти полного оборота. Точка \(\dfrac{5\pi}{2} = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}\) попадает на верх окружности, дальше идём против часовой стрелки и останавливаемся в точке \(4\pi\) (это правая точка, то же место, что \(0\) и \(2\pi\)).

Чтобы ничего не перепутать, переведём и концы отрезка, и все серии в шестые доли \(\pi\):

\[\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{15\pi}{6},\qquad 4\pi = \dfrac{24\pi}{6}.\]

Теперь нужно, чтобы числитель (в шестых долях) лежал между \(15\) и \(24\).

\[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 1 \to \dfrac{13\pi}{6}\ (13 < 15),\quad k = 2 \to \dfrac{25\pi}{6}\ (25 > 24);\]

\[x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(5 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 1 \to \dfrac{17\pi}{6}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(-5 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{19\pi}{6}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(-1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{23\pi}{6}\ —\ \text{подходит}.\]

Больше ни одно значение \(k\) в промежуток \(15 \le \text{числитель} \le 24\) не попадает: соседние значения отличаются на \(12\), и шаг сразу выбрасывает нас наружу.

Важно! Рисунок показывает картину, но сам по себе отбором не считается. Проверяющий ждёт либо неравенство \(\dfrac{5\pi}{2} \le x \le 4\pi\) с найденным целым \(k\), либо перевод в одинаковые доли \(\pi\), как сделано выше. Лучше всего — и рисунок, и строчка с числами.

Ответ: а) \(\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{17\pi}{6};\ \dfrac{19\pi}{6};\ \dfrac{23\pi}{6}\)

Пункт а

По определению логарифма

\[x^2 - 2x = 3^1 = 3.\]

Решим уравнение выделением полного квадрата:

\[x^2 - 2x + 1 = 4, \qquad (x-1)^2 = 2^2, \qquad (x-1)^2 - 2^2 = 0,\]

\[(x-1-2)(x-1+2) = 0, \qquad (x-3)(x+1) = 0, \qquad x_1 = -1,\quad x_2 = 3.\]

Проверим область допустимых значений: при обоих корнях аргумент логарифма равен \(x^2-2x = 3 > 0\), так что подходят оба.

Пункт б

Концы отрезка — логарифмы, поэтому и корни удобно записать как логарифмы по тем же основаниям.

Корень \(x = 3\). Сравним его с правым концом:

\[3 = \log_3 3^3 = \log_3 27, \qquad 27 > 5 \quad\Longrightarrow\quad \log_3 27 > \log_3 5,\]

так как логарифм по основанию \(3 > 1\) возрастает. Значит \(3 > \log_3 5\), и этот корень в отрезок не попадает.

Корень \(x = -1\). Сравним с левым концом:

\[-1 = \log_2 2^{-1} = \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 0{,}5, \qquad 0{,}5 > 0{,}2 \quad\Longrightarrow\quad -1 > \log_2 0{,}2.\]

Теперь с правым:

\[-1 = \log_3 3^{-1} = \log_3\frac{1}{3}, \qquad \frac{1}{3} < 5 \quad\Longrightarrow\quad -1 < \log_3 5.\]

Значит корень \(x = -1\) отрезку принадлежит.

Ответ: а) \(-1;\ 3\);   б) \(-1\).

Пункт а

Область допустимых значений: \(x > 0\). Относительно \(\log_8 x\) это обычное квадратное уравнение, поэтому сделаем замену \(\log_8 x = t\):

\[6t^2 - 5t + 1 = 0, \qquad D = 25 - 24 = 1, \qquad t_1 = \frac{5+1}{12} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{5-1}{12} = \frac{1}{3}.\]

Возвращаемся к \(x\), записывая правые части как логарифмы по основанию 8:

\[\log_8 x = \frac{1}{2} = \log_8 8^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2},\]

\[\log_8 x = \frac{1}{3} = \log_8 8^{1/3} \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt[3]{8} = 2.\]

Оба значения положительны, поэтому области допустимых значений удовлетворяют оба корня.

Пункт б

Корень \(x = 2\) отрезку \([1;\ 2{,}5]\) очевидно принадлежит. Сравним \(2\sqrt{2}\) и \(2{,}5\), возведя обе величины в квадрат — они положительны, поэтому знак сравнения сохранится:

\[\left(2\sqrt{2}\right)^2 = 8, \qquad 2{,}5^2 = 6{,}25, \qquad 8 > 6{,}25,\]

значит \(2\sqrt{2} > 2{,}5\) и этот корень в отрезок не попадает.

Ответ: а) \(2;\ 2\sqrt{2}\);   б) \(2\).